Правила наближених обчислень
Числа точні і наближені
Числа, з якими ми зустрічаємося на практиці, бувають двох родів. Одні мають точне значення величини, інші - тільки приблизне. Найчастіше зручно користуватися наближеним числом замість точного, тим більше, що в багатьох випадках точне число взагалі знайти неможливо.
Так, якщо кажуть, що в класі є 29 учнів, то число 29 - точне. Якщо ж кажуть, що відстань від Москви до Києва одно 960 км, то тут число 960 - наближене, так як, з одного боку, наші вимірювальні інструменти не абсолютно точні, з іншого боку, самі міста мають деяку протяжність.
Результат дій з наближеними числами є теж наближене число. Виконуючи деякі дії над точними числами (поділ, добування кореня), можна також отримати наближені числа.
Теорія наближених обчислень дозволяє:
1) знаючи ступінь точності даних, оцінити ступінь точності результатів;
2) брати дані з належної ступенем точності, достатньої для забезпечення необхідної точності результату;
3) раціоналізувати процес обчислення, звільнивши його від тих викладок, які не вплинуть на точність результату.
Виконуючи обчислення, завжди необхідно пам'ятати про ту точності, яку потрібно або яку можна отримати. Неприпустимо вести обчислення з великою точністю, якщо ці завдання не допускають або не вимагають цього (наприклад, семизначна таблиця логарифмів при обчисленнях з числами, що мають 5 значущих цифр - надлишкова). Тверде знайомство з правилами наближених обчислень необхідно кожному, кому доводиться обчислювати.
Дії над наближеними числами
Результат дій над наближеними числами є також наближене число. Похибка результату може бути виражена через похибки первинних даних за допомогою наступних теорем:
1. Гранична абсолютна похибка алгебраїчної суми дорівнює сумі граничних абсолютних похибок доданків.
2. Відносна похибка суми укладена між найбільшою і найменшою з відносних похибок доданків.
3. Відносна похибка твори або приватного дорівнює сумі відносних похибок співмножників або, відповідно, діленого і дільника.
4. Відносна похибка n-го ступеня наближеного числа в n разів більше відносної похибки підстави (як у цілих, так і для дрібних n).
Користуючись цими теоремами, можна визначити похибка результату будь-якої комбінації арифметичних дій над наближеними числами.
Гранична абсолютна похибка свідомо перевершує абсолютну величину істинної похибки, оскільки граничне значення обчислюється в припущення, що різні похибки підсилюють один одного; практично це буває рідко. При масових обчисленнях, коли не враховують похибка кожного окремого результату, користуються такими правилами підрахунку цифр.
При дотриманні цих правил можна вважати, що в середньому отримані результати матимуть все знаки вірними, хоча в окремих випадках можлива помилка в кілька одиниць останнього знака.
1. При додаванні і відніманні наближених чисел в результаті слід зберігати стільки десяткових знаків, скільки їх в наближеному даному з найменшим числом десяткових знаків.
Приклад. Знайти суму наближених чисел 127,42; 67,3; 0,12 і 3,03.
Приклад. Знайти різницю чисел: 418,7 - 39,832
Рішення. 418,7 - 39,832 = 378,87 = 378,9.
2. При множенні і діленні в результаті варто зберігати стільки значущих цифр, скільки їх має наближене дане з найменшим числом значущих цифр.
Приклад. Помножити наближені числа 3,4 і 12,32.
Приклад. Площа прямокутної грядки приблизно дорівнює 7,6 м 2. ширина 2,38 м. Чому дорівнює її довжина?
Рішення. Довжина грядки дорівнює частці від ділення 7,6 на 2,38.
Дія ділення виконують так: 7,6: 2,38 м = 3,19 м = 3,2 м.
Останню цифру приватного 9 можна було і не писати, а, отримавши в приватному дві значущі цифри, помітивши, що залишок більший половини подільника, округлити приватне з надлишком.
3. При зведенні в квадрат або куб в результаті слід зберігати стільки значущих цифр, скільки їх має споруджений в ступінь наближене число (остання цифра квадрата і особливо куба при цьому менш надійна, ніж остання цифра підстави).
4. При збільшенні квадратного і кубічного коренів в результаті слід брати стільки значущих цифр, скільки їх має наближене значення подкоренного числа (остання цифра квадратного і особливо кубічного кореня при цьому більш надійна, ніж остання цифра подкоренного числа).
5. У всіх проміжних результатах слід зберігати однією цифрою більш, ніж рекомендують попередні правила. В остаточному результаті ця (запасна) цифра відкидається.
6. Якщо деякі дані мають більше десяткових знаків (при додаванні і відніманні) або більше значущих цифр (при множенні, діленні, зведенні в ступінь, добуванні кореня), ніж інші, то їх попередньо слід округлити, зберігаючи лише одну зайву цифру.
Застосування обчислень способом підрахунку цифр розглянемо на прикладі.
Рішення (підкреслені запасні цифри). а - b = 9,31 - 3,1 = 6,21;
Примітка. Сформульовані вище правила підрахунку цифр мають імовірнісний сенс: вони найбільш вірогідні, хоча існують приклади, що не відповідають цим правилам. Тому обчислення способом підрахунку цифр - самий грубий спосіб оцінки похибки результатів дій. Однак він дуже простий і зручний, а точність таких обчислень цілком достатня для більшості технічних розрахунків. Тому цей спосіб набув значного поширення в обчислювальній практиці.
У більш відповідальних обчисленнях користуються способом кордонів або способом граничних похибок.