Фракталів І УНІВЕРСАЛЬНЕ РІВНЯННЯ
Фракталом називається структура, що складається з частин, які в якомусь сенсі подібні цілому. Зазвичай ці частини нескінченно зменшуються або збільшуються і являють собою зменшену копію цілого (по крайней мере, приблизно).
З іншого боку фрактал є функцією - математичним виразом, що описує цю структуру. Таким чином, отримання нового фрактала нерозривно пов'язане з отриманням відповідного математичного виразу або системи математичних виразів.
З моменту появи поняття "фрактал" постійно активно ведуться пошуки математичних виразів здатних ставити різноманітні фрактали. З цього перевірка універсального рівняння на здатність ставити фрактали є цілком логічною.
Під універсальним рівнянням розуміється математичне вираз виду: y = [x / a] * [a / x]. де [] - знак, що позначає цілу частину числа (і далі за текстом статті). Шляхом введення в універсальне рівняння різних додавань і перетворень практично можна отримувати нескінченну кількість похідних рівнянь, що описують найрізноманітніші об'єкти.
Універсальне рівняння в своєму елементарному вигляді складається з двох функцій: [x / a] і [a / x]. Якщо подивитися на наведений нижче графік подібної функції, то можна переконатися, що ці функції самі є фракталами.
Дійсно, будь-яка частина цього графіка подібна, як всьому графіку, так і окремим іншим його частинам і розміри цих частин поступово збільшуються, що характерно для фракталів. Ці елементарні функції самі можуть послужити основою для отримання більш складних фракталів, наприклад, наведеного нижче на малюнку:
Причому, використовуючи універсальне рівняння можна отримати рівняння, що задає своєрідний фрактал - основу для отримання інших найрізноманітніших фракталів:
де P - число (може бути і функція), що визначає основні властивості фрактала. Фрагмент графіка рівняння (1) наведено нижче:
Кожна точка цього графіка може служити "ініціатором" для побудови графіка, будь-якої функції, в результаті чого можуть виходити найрізноманітніші фрактали. Наприклад, такі, як наведений нижче:
Таким чином, використання універсального рівняння для завдання фракталів дозволяє отримувати фрактали відмінні від уже відомих. Причому принципи побудови фракталів на основі універсального рівняння так само відрізняються від традиційно використовуваних. Для завдання фракталів використовуються неявні функції і здатність універсального рівняння задавати нестаціонарні періодичні функції. Будь-фрагмент фрактала можна побудувати, не будуючи і не прораховуючи його попередні фрагменти.
Далі в якості прикладів наводиться ряд фракталів, заданих за допомогою універсального рівняння.
На наведеному нижче малюнку показаний фрагмент фрактала представляє собою проекцію на площину xy графіка рівняння:
Цей же фрактал по своєму цікавий і в тривимірному виконанні:
Освітлення цього фрактала і інших в цій статті зроблено штучно і ніяк не пов'язане зі способом їх завдання.
На наведеному нижче малюнку показаний фрагмент фрактала, що представляє собою нескінченну коробку, що складається з постійно зменшуються в розмірах осередків, побудованих відповідно до формули:
Для того, що б краще розібратися в "пристрої" цього фрактала можна подивитися спеціальну програму побудови фрактала "коробка".
На наведеному нижче малюнку показаний фрагмент фрактала, що представляє собою об'ємну нескінченну решітку, що складається з постійно зменшуються в розмірах осередків, побудованих відповідно до формули:
Для того, що б краще розібратися в "пристрої" цього фрактала можна подивитися спеціальну програму побудови фрактала "об'ємна решітка".
У рівняннях (3) і (4) обчислення параметрів здійснюється за формулами:
де P - число (може бути і функція), що визначає основні властивості фракталів "коробка" і "об'ємна решітка".
Якщо у функціях, заданих за допомогою універсального рівняння, що визначають фрактали, випадковим чином змінювати будь-які параметри то можна отримати стохастичні фрактали. Як приклади таких фракталів нижче наведені фрактали "опале листя" і "квіти".
Цікаво, що системи рівнянь, що задають фрактали "опале листя" і "квіти" зовсім мало відрізняються один від одного.
Поспостерігати за побудовою фракталів "опале листя" і "квіти" при зміні вихідних параметрів можна за допомогою спеціальної програми.
Відомо, що універсальне рівняння в своєму елементарному вигляді на графіку задає точку, а сума цих рівнянь - відповідно суму точок. З іншого боку, якщо взяти будь-який фрактал і почати нескінченно зменшувати однотипні частини, його складові, то якими б складними ці частини не були, вони поступово все виродяться в точки. Таким чином, можна говорити про те, що універсальний фрактал повинен графічно представляти собою набір точок і може здаватися сумою універсальних рівнянь. Причому суми таких рівнянь в загальному випадку будуть нескінченними, так як при поданні будь-якого об'єкта у вигляді фрактала, що складається з точок теоретично до вже наявних точок, що становить об'єкт можна додавати нескінченне число нових точок з відповідним збільшенням густоти (щільності) розміщення точок в просторі.
Спостерігати подібні фрактали на статичних малюнках безглуздо, так як спостерігатися буде тільки сам об'єкт, що представляється фракталом, а частини складові фрактал - точки немає. Тому для того, щоб розібратися в тому, як будуються такі "універсальні фрактали" пропоную завантажити і виконати спеціальні програми: "Пориста структура" і "Гірка сірників". В результаті виконання цих програм можна буде спостерігати Поточечное побудова фракталів у вигляді своєрідної анімації. Програма "Пориста структура" побудує спочатку тривимірний об'єкт "набраний" великими точками, а потім той самий об'єкт, але "набраний" великою кількістю більш дрібних точок з відповідним появою більш дрібних подробиць об'єкта, що характерно для фракталів. Програма "Гірка сірників" будує гірку сірників в реалістичному вигляді, звичайно з поправкою на відсутність антіаллісінга. Явище аллісінга звичайно не властиво універсального рівняння, але для виведення зображень ми змушені використовувати звичайний монітор, який фактично "втискує" з відповідними спотвореннями результати обчислення координат точок за універсальним рівнянням в матрицю монітора.
При роботі з програмами можна так само відмітити, що здійснюються безпосередньо на екрані тривимірні побудови відрізняються від звичайної 3 D графіки. Звичайна 3 D графіка забезпечує лише побудова поверхонь об'єктів, а фрактали на основі універсальних рівнянь весь обсяг, яку він обіймав об'єктом, включаючи його нутрощі. Ця обставина дуже важливо, якщо фрактал передбачається в подальшому використовувати для виконання з ним будь-яких операцій, наприклад виконання розрахунків на міцність.
Крім цього відображається за допомогою програми "Гірка сірників" анімація у вигляді фрактала разом з програмою відтворення анімації займає 11,7 МБ. Це при тому, що програма фактично демонструє в ході побудови фрактала 246720 відмінних один від одного кадрів анімації. Якби подібну анімацію створювали б, наприклад, в форматі gif. то при середньому розмірі одного кадру в форматі gif 9,4 кБ вся анімація зайняла б 2319 МБ або була б більше фрактала в 198 разів.