102. Якщо - деякий многочлен ступеня n с, взагалі кажучи, комплексними коефіцієнтами, то для деякого лінійного оператора вираз
є оператор, званий многочленом від оператора. Якщо многочлен P (z) має речові коефіцієнти, а оператор Ерміта, то многочлен від оператора (113) також буде ермітовим оператором.
Власні значення многочлена від оператора є відповідними многочленами від власних значень оператора.
Многочлен P (z) називається анулюється многочленом оператора. в разі якщо при підстановці в нього оператора він звертається в нульовий оператор.
Характеристичний многочлен конечномерного оператора дорівнює визначнику ᴇᴦο l-оператора.
103. Якщо в деякій області D комплексної площині функція f (z) має бути представлена у вигляді сходиться статечного ряду
де ak - комплексні коефіцієнти, то формальна підстановка в (114) деякого оператора дасть вираз
сенс якого залежить від властивостей оператора. Якщо на безлічі векторів стану будь-матричні елементи є числами, що лежать в сфері D. то уявлення (104) має наступний смисл˸ числові ряди
сходяться в сфері значень для будь-яких і. У цьому випадку будемо вважати, що функція від оператора визначена у вигляді розкладання (115).
За визначенням, в розкладанні (115) вважається, що для будь-якого оператора. Це припущення суперечить (115 ¢).
Якщо коефіцієнти розкладання ak в (114) речовинні, то функція від ермітовим оператора буде ермітовим оператором (доведіть!).
104. Якщо оператор є конечномірні, то, за визначенням, існує мінімальний многочлен jM (z) цього оператора
де натуральне число p є ступенем цього багаточлена. Підстановка оператора в (105) дає операторний рівняння
за допомогою якого ступінь оператора можна виразити через ᴇᴦο нижчі ступеня. Тоді, використовуючи (117), ряд (115) можна звести до операторному многочлену виду (113) ступеня n = p - 1. Таким чином, будь-яка функція від конечномерного оператора, що має мінімальний многочлен ступеня p. представимо у вигляді сходиться статечного ряду (114) при виконанні умов (115 ¢) повинна бути представлена як деякий операторний поліном (113) ступеня n = p - 1.
105. Експонента від оператора визначається за допомогою ряду