Власні значення і власні елементи Сполучений оператор
Ненульовий елемент х GV називається власним елементом лінійного оператора А: VV, якщо знайдеться таке число Л - власне значення лінійного оператора А, що Приклад 1. Всякий многочлен нульової ступеня є власним елементом оператора диференціювання відповідне власне значення дорівнює нулю: Приклад 2. Оператор диференціювання Власні значення і власні елементи. Пов'язаний оператор. власних елементів не має. Нехай деякий тригонометричний поліном a cos t + 0 sin t після диференціювання переходить в пропорційний: Це означає, що або, що те ж, Остання рівність виконується в тому і тільки в тому випадку, якщо звідки випливає, що a = р = 0 і, значить, многочлен може бути тільки нульовим. Теорема 6. Дійсне число А є власним значенням лінійного оператора А в тому і тільки в тому випадку, коли це число - корінь його характеристичного многочлена: х (А) = 0. неоходимости. Нехай А - власне значення оператора А. Тоді знайдеться ненульовий елемент х, для якого Ах = Ах. Нехай - базис простору. Тоді остання рівність можна переписати в еквівалентному матричному вигляді або, що те ж, І цього, що х - власний елемент, випливає, що його координатний стовпець х (с) ненульовий. Це означає, що лінійна система (1) має нульове рішення. Останнє можливе лише за умови, що або, що те ж, Достатність. Спосіб побудови власного елемента. Нехай А - корінь многочлена Розглянемо однорідну лінійну систему з матрицею А (с) - АI: В силу умови (2) ця система має ненульовий розв'язок. Побудуємо елемент х за правилом Координатний стовпчик х (с) цього елемента задовольняє умові або, що теж, Останнє еквівалентно тому, що або, докладніше, Отже, х - власний елементлінейного оператора Л, а А - відповідне йому власне значення. Зауваження. Для знаходження всіх власних елементів, що відповідають заданим своїм значенням А, необхідно побудувати ФСР системи (3). Приклад 1. Знайти власні вектори лінійного оператора діє за правилом (оператор проектування) (рис.6). М Розглянемо дії лінійного оператора Р на базисні вектори. Маємо Запишемо матрицю оператора: Власні значення і власні елементи. Пов'язаний оператор. побудуємо характеристичний многочлен і знайдемо його корені. Маємо Побудуємо однорідні лінійні системи з матрицями: Отримаємо відповідно: Знайдемо фундаментальні системи рішень для кожної з цих систем. Маємо 1 Таким чином, власними векторами цього оператора проектування є: вектор до з власним значенням 0 і будь-який вектор з власним значенням Приклад 2. Знайти власні елементи лінійного оператора диференціювання V, який діє в просторі Afj многочленів ступеня не вище двох: Матриця D заданого оператора в базисі I, t, Про має вигляд характеристичний многочлен -А3 має рівно один корінь А = 0. Рішенням системи є набір 1,0,0, якому відповідав би многочлен нульової ступеня. §5. Пов'язаний оператор В евклідовому просторі над лінійними операторами можноввестіешеоднодей-ствие - операцію сполучення. Нехай V - n-мірне евклідів простір. З кожним лінійним оператором чинним в цьому просторі; природно пов'язаний інший лінійний оператор, пов'язаний даному. Визначення. Лінійний оператор (читається: «а із зіркою») називається зв'язаним лінійному оператору А: V - * V, якщо для будь-яких елементів х і у з простору V виконується рівність Лінійний оператор А *, пов'язаний даному оператору А, завжди існує. Нехай з = (et. En) - ортобазіс простору V і А = А (с) = (про ^) - матриця лінійного оператора А в цьому базисі, т. Е. Безпосередніми обчисленнями можна переконатися в тому, що для лінійного оператора А ' : V - "V, що визначається за правилом рівність (1) виполненопрілюбихх і у. Нагадаємо, чтосогласнотеореме 1, для того, щоб побудувати лінійний оператор, досить задати його дію на базисні елементи. Приклад. Введемо в лінійному просторі М \ многочленів з дійсними коефіцієнтами ступеня не вище першої операцію скалярного множення за таким правилом. Нехай Покладемо Тим самим, М \ - двовимірне евклидово простір. Нехай V. М \ - М \ - оператор диференціювання: V (a + d »f) = Ь. Побудуємо пов'язаний оператор. Матриця оператора V в цьому базисі має вигляд. Тоді - матриця сполученого оператора V, який діє за правилом: Для довільного многочлена отримуємо Властивості операції сполучення 1. Укаждоголінейногооператорасуществуетровноодінсопряженнийемуоператор. Нехай В і С - оператори, пов'язані заданому уоператору А. Це означає, що для будь-яких елементів х і у з простору V виконуються рівності Звідси випливає, що Власні значення і власні елементи. Пов'язаний оператор. і, далі, В силу довільності вибору елемента х робимо висновок, що елемент Ву-Су ортогонален будь-якого елементу простору V і, зокрема, собі самому. Останнє можливе лише в разі, коли By - Су = 0 і, отже, By = С у. Внаслідок того, що у - довільний елемент, отримуємо В
С. 2. (А.4) * = Ал *, де а - довільне дійсне число. Нехай A: V - + V і B: V - + V - лінійні оператори. Тоді Властивості 2-5 легко випливають з єдиності сполученого оператора. 6. Нехай с - ортобазіс простору V. Для того, щоб оператори А: V V і В: V - "V були взаімносопряженнимі, тобто виконувалися рівності В = А ', А = В *, необхідно і достатньо, щоб їх матриці А = А (с) і В = В (з) виходили одна з іншої Транспонированием. Зауваження. Підкреслимо, що властивість 6 справедливо тільки для МАТРА, побудованих в ортонормнро-ванном базисі. Для довільного базису воно невірно. 7. Якщо лінійний оператор А невирождени, то пов'язаний йому оператор А * також невирождени і виконується рівність