А - матриця цього перетворення.
Определітельматріци А не залежить від вибору репера.
Цей визначник назвемо визначником афінного перетворення Ф і будемо його позначати символом або.
Геометричний сенс визначника афінного перетворення з'ясовується таким реченням:
Пропозиція 1.Пусть Х - довільна плоска фігура і нехай Х '-фігура ,, що виходить з неї аффінним перетворенням Ф. Тоді площа фігури Х' дорівнює площі фігури Х, помноженої на абсолютну величину визначника перетворення Ф:
Следствіе.Площадь s еліпса з півосями а і b (точніше, площа області, обмеженої цим еліпсом) виражається формулою
Доведення. Площа круга радіуса а дорівнює, як відомо,. Але еліпс з півосями а і b виходить з цього кола стисненням площині до одного з його діаметрів з коефіцієнтом. отже,
§2. Еквіаффінная система
Визначення 1. Афінний перетворення Ф називається еквіаффінним, якщо.
Згідно з пропозицією 1,
Афінний перетворення тоді і тільки тоді еквіаффінно, коли воно зберігає площі, т. е. коли площа будь-плоскої фігури Х дорівнює площі перетвореної фігури Х '.
До числа еквіаффінних перетворень належать всі ортогональні перетворення. Однак існують і неортогональні еквіаффінние перетворення.
сукупність всіх еквіаффінних перетворень є групою.
Геометрія з цією групою називається еквіаффінной геометрією, а відповідні площині - еквіаффіннимі площинами. На відміну від аффинной геометрії, в еквіаффінной геометрії має сенс поняття площі. Вона є природною областю, в якій доцільно будувати теорію площ.
Дві аффінниє координатні системи з реперами і; тоді і тільки тоді визначають одну і ту ж еквіаффінную площину, коли бівектори і або збігаються, або відрізняються знаком, т. е. коли паралелограми, побудовані на векторах і. мають одну і ту ж площу. Це показує, що еквіаффінная площину є не чим іншим, як аффинной площиною, на якій поставлено еталон площі (область, площа якої прийнята за одиницю).
Звичайно, тут при виборі різних еталонів площі ми отримуємо з однієї афінної площині різні еквіаффінние площині.
При формулюванні тверджень еквіаффінной геометрії, що відносяться до площ, необхідно дотримуватися певної обережності. Наприклад, доведене вище наслідок про площу еліпса, як воно сформульовано, не належить еквіаффінной геометрії, оскільки в ньому фігурують довжини піввісь а й b. сенсу в еквіаффінной геометрії не мають. Щоб отримати «еквіаффінную» формулювання цього слідства, досить, однак, зауважити, що відповідно до теореми Аполлонія площа паралелограма, побудованого на довільній парі пов'язаних радіусів еліпса, дорівнює аb. Тому ми можемо сказати, що
відношення площі еліпса до площі паралелограма, побудованого на парі його сполучених радіусів, так само.
Це формулювання в еквіаффінной геометрії вже цілком осмислена.
Замечаніе1. Ясно, що теорема Аполлонія очевидним чином випливає з можливості уявлення довільного еліпса як образу деякої окружності при афінному перетворенні, оскільки для випадку окружності вона тривіальна (площа квадрата, побудованого на парі перпендикулярних радіусів кола, дорівнює квадрату радіусу кола).
Замечаніе2. Твердження про площі еліпса може бути сформульовано також і в такий спосіб:
відношення площ еліпса і паралелограма, побудованого на парі його сполучених радіусів, так само.
Звернемо увагу на тонке, але суттєве, відмінність між двома останніми формулюваннями: в той час як в першій формулюванні ми говоримо про ставлення площі однієї фігури (еліпса) до площі іншої фігури (паралелограма), у другій формулюванні мова йде про ставлення площ цих фігур. Оскільки згідно з пропозицією 1 при будь-якому афінному перетворенні площі всіх фігур множаться на одне і те ж число, яке залежить від фігури, то для будь-яких двох фігур Х і Y ставлення їх площ аффінно інваріантної. Іншими словами, хоча в аффинной геометрії і не можна говорити про площу однієї окремо взятої фігури, але поняття відносини площ двох фігур має повний сенс (подібно до того, як можна буде поняття відносини довжин двох паралельних відрізків). Таким чином, друга з наведених вище формулювань має сенс в аффинной геометрії, тоді як перша - тільки в еквіаффінной.
Варіант еквіаффінной геометрії, в якому фундаментальної групою вважається група еквіаффінних перетворень, що зберігають орієнтацію, звичайно, також можливий. У цій геометрії має сенс поняття орієнтованої площі.
§3. Афінний перетворення і їх властивості.
ОПРЕДЕЛЕНІЕ.Преобразованіе аффинной площині або афінного простору називаетсяаффінним, якщо будь-які три Колінеарні точки вона переводить в три Колінеарні точки ( «зберігає відношення коллинеарности»).
Зауваження 1. Будемо говорити, що пряма відповідає прямій в афінному перетворенні Ф.
Властивість 1.Аффінное перетворення Ф кожну пряму відображає на відповідну пряму.
Властивість 2.Преобразованіе Ф переводить паралельні прямі в паралельні.
Властивість 3.Аффінное перетворення Ф кожну полупрямую відображає на відповідну полупрямую.
Властивість 4.Аффінное перетворення Ф кожен відрізок відображає на відповідний відрізок.
Властивість 5.Преобразованіе Ф переводить паралельні відрізки в паралельні.
Щоб сформулювати наступне властивість афінних перетворень, розглянемо дві різні точки М1, М2 і проходить через них пряму. Нехай k - відношення, в якому деяка точка М прямий ділить спрямований відрізок. При довільному афінному перетворенні Ф Колінеарні точки М1, М2. М перейдуть в Колінеарні точки, і тому буде визначено ставлення, в якому точка ділить відрізок.
Властивість 6.Імеет місце рівність
т. е. Афінний перетворення зберігає відношення, в якому дана точка ділить даний відрізок.
Оскільки внутрішні точки відрізка характеризуються умовою, з цієї властивості випливає
Слідство. Перетворення Ф кожну внутрішню точку відрізка переводить у внутрішню точку відрізка.
§4. Подоба як окремий випадок афінного перетворення
Определеніе2. Афінний перетворення Ф називається перетворенням подібності, якщо воно зберігає кути між прямими, т. Е. Якщо будь-які дві (пересічні) прямі і воно переводить в прямі і, що утворюють той же кут.
всі перетворення подібності утворюють групу.
Відповідна геометрія називається геометрією подібності. Фігури, рівні в цій геометрії, т. Е. Фігури, переводяться одна в одну перетворенням подібності, називаються подібними.
Покажемо, що це поняття подібності збігається зі звичним, відомим із елементарного курсу, т. Е. Що дві фігури тоді і тільки тоді подібні, коли після відповідного переміщення вони гомотетічни. Для цього, очевидно, досить показати, що будь-яке перетворення подібності є композицією деякого ортогонального перетворення (руху або руху плюс симетрія) і деякої гомотетии, т. Е. Перетворення, що виражається в відповідним чином підібраною системі прямокутних координат х, у формулами виду
де h - коефіцієнт гомотетии.
Для цього в свою чергу досить показати, що перетворення виду
тоді і тільки тоді зберігає кути між прямими, коли, т. е.когда воно є Гомотетія.
Але це ясно. Дійсно, перетворення переводить вісь абсцис в себе, а пряму з рівнянням
- в пряму з рівнянням
Тому кут між віссю абсцис і прямий тоді і тільки тоді зберігається при перетворенні. коли
Щоб перейти від геометрії подібності до геометрії Евкліда, досить вибрати еталон довжини.
Глава II. Геометрія Галілея і дуальні числа