Геометрія виникла дуже давно, це одна з найдавніших наук. Геометрія (грецьке, від ge - земля і metrein - вимірювати) - наука про простір, точніше - наука про форми, розміри і межі тих частин простору, які в ньому займають речові тіла. Таке класичне визначення геометрії, або, вірніше, таке дійсне значення класичної геометрії. Однак сучасна геометрія в багатьох своїх дисциплінах виходить далеко за межі цього визначення. Розвиток геометрії принесло з собою глибоко йде еволюцію поняття про простір. У тому значенні, в якому простір як математичний термін широко вживається сучасними геометрами, воно. вже не може служити первинним поняттям, на якому спочиває визначення геометрії, а, навпаки, сама знаходить собі визначення в ході розвитку геометричних ідей.
Важливу роль грали і естетичні потреби людей: бажання прикрасити своє житло і одяг, малювати картини навколишнього життя. Все це сприяло формуванню і накопиченню геометричних відомостей. За кілька століть до нашої ери в Вавилоні, Китаї, Єгипті та Греції вже існували початкові геометричні знання, які добувалися в основному дослідним шляхом, але вони не були ще систематизовані і передавалися від покоління до покоління у вигляді правил і рецептів, наприклад, правил перебування площ фігур, об'ємів тіл, побудова прямих кутів і т.д. Не було ще доказів цих правил, і їх виклад не представляло собою наукової теорії.
Геометрія на Сході
Батьківщиною геометрії вважають звичайно Вавилон і Єгипет. Грецькі письменники одностайно сходяться па тому, що геометрія виникла в Єгипті і звідти перенесена в Елладу.
2. Грецька геометрія
Евклід жив в Олександрії в епоху, коли там утворився найбільший центр грецької наукової думки. Спираючись на праці своїх попередників, Евклід створив глибоко продуману систему, сохранявшую керівну роль протягом понад двох тисяч років. «Укладач Почав» - це прізвисько зробилося як би власним ім'ям, під яким всі пізніші грецькі математики розуміли Евкліда, а його «Начала» стали підручником, за яким протягом двох тисячоліть навчалися геометрії юнаки і дорослі. Навіть ті підручники, за якими ведеться початкове навчання геометрії в наш час, по суті представляють собою переробку «Начал» Евкліда.
Матеріал, що міститься в «Засадах», по суті охоплює елементарну геометрію, як ми її розуміємо в даний час. Метод побудови геометрії у Евкліда пізніше характеризували словами - будувати геометрію виключно геометричними засобами, не вносячи в неї чужих їй елементів. Це означає перш за все, що Евклід не вдається до арифметичним засобам, т. Е. До чисельних співвідношень. Рівність фігур у Евкліда означає, що вони можуть бути суміщені рухом, нерівність - що одна фігура може бути цілком або частинами вміщена в іншу. Равновелікость фігур означає, що вони можуть бути складені з частин. Саме цими засобами, не вдаючись навіть до пропорцій, Евклід доводить, що кожен багатокутник може бути перетворений в рівновеликий трикутник, а трикутник - в квадрат.
Епоха великих геометрів (другий Олександрійський період). Найхарактернішою рисою другої Олександрійської епохи є те, що вона принесла з собою метрику, якій геометрії Евкліда не вистачало. Те завдання, яке Евклід, може бути, свідомо оминав, - вимір, - Архімед поставив на перше місце. Це не випадково, а пов'язано з тим прикладним напрямком, яким просякнута вся творчість Архімеда, який жив в епоху (III в. До н. Е.), Коли боротьба між окремими грецькими державами за незалежність і за гегемонію досягла найбільшого напруження; старість же його протекла в роки, коли почалася рішуча боротьба Еллади за саме її існування. Легенди пов'язують весь захист Сіракуз з ім'ям Архімеда, який винаходив все нові і нові метальні знаряддя, що відображали суду облягали. Скільки в цьому правди, судити важко. Але Плутарх свідчить, що діяльність інженера-практика Архімеда ніколи не приваблювала, він і не написав з цього предмету жодного твору. У III ст. до н. е. прикладні задачі стояли вже перед еллінським вченими на повний зріст. Заслуга Архімеда полягала не в тому, що він побудував значну кількість катапульт, а в тому, що він встановив теоретичні основи, на яких в кінцевому рахунку і донині покоїться машинобудування, - він фактично створив основи механіки. Механіка вимагала обчислення мас, а отже, площ і обсягів, а також Центрів тяжкості; механіка настійно вимагала метричної геометрії; на цьому і зосереджено увагу Архімеда в геометрії. Труднощі несумірних відносин він долає в тому порядку, який до теперішнього часу залишається по суті єдиним засобом не тільки практичного обчислення, а й теоретичного побудови вчення про ірраціональні величинах, - шляхом складання послідовних наближень. Але на цьому-то шляху і було необхідно виняткове мистецтво, бо великовагова система числення представляла найслабше місце грецької математики. Архімед намагався знайти радикальні засоби для подолання труднощів числення - цьому присвячена його книга «Обчислення піску». До мети це не крівело. Цей твір є ще одне свідчення виняткового дотепності Архімеда, але не дає хороших засобів для практичного рахунки. Найбільш важливим було наближене обчислення квадратних коренів, необхідне для наближеного ж обчислення довжини кола; цьому присвячено особливу, невеликий твір, по суті укладає наближене обчислення периметрів правильних 96-кутників, вписаного в коло і описаного біля неї.
Таким чином, творіння Архімеда істотно відрізняються від геометрії Евкліда і за матеріалом і за методом; це - величезний крок вперед, це - нова епоха. У викладі цих досягнень, проте, витримана система Евкліда: аксіоми і постулати на початку кожного твору, тонко продумана ланцюг умовиводів, що претендує на досконалість мережі силогізмів. Але, як і система Евкліда, геометрія Архімеда постійно віддає щедру данину інтуїції, причому тільки поруч з геометричною інтуїцією тут з'являється інтуїція механічна.
3. Геометрія нових століть
Прокл був уже, мабуть, останнім представником грецької геометрії. Римляни не внесли в геометрію нічого істотного. Загибель античної культури, як відомо, призвела до глибокого занепаду наукової думки, що тривала близько 1000 років, до епохи Відродження. Це не означає, однак, що математика в цей період абсолютно заглохла. Посередниками між еллінської і нової європейської наукою з'явилися араби. Коли кілька ліг затятий релігійний фанатизм, який панував в епоху арабських завоювань, в умовах швидко розвивалася торгівлі, мореплавання і міського будівництва стала розгортатися і арабська наука, в якій математика грала дуже важливу роль. Евклід був вперше перекладений на арабську мову, мабуть, в IX ст. За цим послідував переклад творів інших грецьких геометрів, багато з яких тільки з цих перекладах до нас і дійшли. Однак математичні інтереси арабів були зосереджені не стільки на геометрії, скільки на арифметиці і алгебрі, на мистецтві рахунки в