Ця книга є свого роду додатком загального геометричного апарату класичної теорії поля до теоретичної механіки. Доводиться констатувати, що в кінці XX століття ми все ще нс маємо строгих математичних основ неавтономної і релятивістської механік, на відміну від сімплектіческой механіки консервативних систем. Такі основні поняття механіки, як сила, система відліку, енергія та ін. Потребують математичної формалізації.
Ми обмежимося тут випадком механічних систем першого порядку, описуваних рівняннями руху другого порядку за координатами і рівняннями руху першого порядку за координатами і імпульсам.
Симплектична механіка.
У цьому розділі описуються основні структури гамільтонової механіки. Ми почнемо з структури Якобі, окремим випадком якої є структура Пуассона і симплектична структура. Зауважимо, що, на відміну від механіки консервативних систем, в неавтономної механіці відсутня симплектична структура, але вводиться канонічна структура Пуассона. Розглядається також більш загальна порівняно з сім-плектіческой пресімплектіческая структура. Вона грає важливу роль при описі систем зі зв'язками, оскільки звуження сімплектіческой форми на підпростір фазового простору є в загальному випадку саме пресімплектіческой формою.
Ми не заглиблюємося тут в загальну динаміку консервативних систем, розглядаючи її як окремий випадок неавтономної механіки, але системам зі зв'язками приділяється особлива увага. У заключних параграфах цієї глави наводяться деякі варіанти розширення дужок Пуассона і узагальнення сімплектіческой структури, які зараз обговорюються в літературі. Одне з таких узагальнень - полісімплектіческая структура, - служить, як уже зазначалося, основою гамільтонової формулювання класичної теорії поля і вихідним пунктом гамільтонової формулювання неавтономної механіки.