Міркування про прискорення повинні були змусити нас замислитися про можливі ускладнення, пов'язаних з впровадженням електромагнітного поля.
Тому ми тимчасово будемо говорити тільки про рух частинок і поширення променів світла, залишивши осторонь хвильові процеси. Це означає, що ми обмежимося вивченням траєкторій частинок і променів світла і подивимося, що з ними відбувається, коли вони потрапляють в поле тяжіння.
Ми знаємо, що закони руху планет в поле тяжіння не залежать від їх маси, що планети з різними масами рухаються однаково. Це знав ще Кеплер, бо в його законах маси планет не беруть участь. Маса Сонця входить в постійну третього закону Кеплера. Маси планет увійдуть, якщо враховувати обурення, яке надає кожна планета на рух всіх інших. Це означає, що в точної задачі враховуються всі можливі відносини мас, а тому маси планет виявляються істотними при більш строгому рішенні.
Таким чином, теорія повинна була бути побудована так, щоб в ній автоматично виконувався принцип еквівалентності. Як це зробити, зрозумів Ейнштейн. Треба віднести всій властивості руху в поле Сонця до властивостей простору в околицях Сонця, рішуче відкинувши ньютоновскую концепцію порожнього евклідовского простору, в якому, як на сцені, розігруються події, звані фізичними явищами.
Поняття все це зовсім не важко. Для цього треба звернути увагу на дуже близький зв'язок кінематики та геометрії. Коли стверджується, що матеріальна точка, що рухається за інерцією, описує пряму лінію, то в курсах механіки неспроможні питається, що таке пряма лінія, - вважається що пряма лінія знайома всім. Але як провести пряму лінію? За лінійці? Таке рішення не годиться - треба перевірити, пряма чи лінійка. Можна запропонувати три способи - простежити, як рухається точка по інерції, подивитися, як поширюється світло, або просто натягнути нитку. Всякі інші способи виявляться ускладненням трьох перерахованих.
Перший спосіб явно ні до чого не призводить, так як ми не знаємо, що таке рух за інерцією (як перевірити, що на тіло не діють сили?). Другий спосіб не краще - ми не знаємо, як поширюється світло, то, що він рухається по прямій, було фактично постулировано. Якби ми заздалегідь знали, що в просторі немає поля тяжкості, то обидва способи годилися б, але справа якраз в тому, щоб перевірити, чи є такі поля чи ні. Третій спосіб, очевидно, залежить від поля тяжкості - нитка прогинається через свою вагу і не може служити еталоном.
Висновок напрошується сам собою: ми не можемо незалежно визначити геометрію простору а потім рух тіла по інерції. Поки математики знали лише геометрію Евкліда, все було просто. Всі були впевнені, що ніякої іншої логічно несуперечливої геометрії не існує, а тому і немає ніяких сумнівів в формулюванні законів Ньютона. Але після відкриттів Лобачевського, Боян, Гаусса, Рімана, коли поняття і мова неевклідових геометрій перестали здаватися екстравагантними, стало не очевидно, що геометрія Евкліда повинна бути справедлива в нашому просторі.
Виявилося, наприклад, що вектори швидкості в спеціальній теорії відносності складаються не як звичайні вектори в евклідовому просторі, а за законами геометрії Лобачевського.
Ріман створив нову теорію, що дозволяє розглядати такий простір, в якому закони геометрії можуть бути різними в різних його точках. Як Лобачевський, так і Ріман розуміли, що тільки з досвіду можна дізнатися про геометрії нашого світу.
Ейнштейн, крім того, зрозумів, що згідно спеціальної теорії відносності, геометрію світу треба встановлювати не в тривимірному просторі, а в чотиривимірному просторі-часі. Це означає, що в принципі геометрія тривимірного світу може бути різною для частинок, що рухаються з різними швидкостями тільки така геометрія буде здатна описати все різноманіття можливих рухів. Це твердження є простий наслідок законів Кеплера, згідно з якими на кожній орбіті швидкість планети своя, яка визначається третім законом.
Таким чином, опис руху за допомогою законів механіки мало перетворитися на опис геометрії простору.
Такий опис добре ілюструється геометрією звичайної двовимірної сфери, яку можна описувати двома способами. Перший з них заснований на властивостях кулі в тривимірному евклідовому просторі. Але можна діяти інакше, маючи на меті описувати всі властивості сфери, не виходячи в тривимірний простір, а користуючись лише такими величинами, які можна виміряти на самій сфері. Виявляється, і це було доведено для будь-якої поверхні Ріманом, можна встановити всю геометрію саме таким чином. Для сфери завдання особливо проста; треба виміряти тільки радіус сфери. Простий спосіб - здійснити кругосвітню подорож. Тоді ми можемо дізнатися радіус сфери, якщо нам хтось повідомив, що ми живемо на ідеальній сфері. Але можна обійтися і без такого повідомлення. Якщо ми акуратно виміряємо кути трикутника, сторони якого складені з дуг великих кіл, і визначимо, наскільки ця сума перевищує 180 ° (знайдемо, як кажуть, сферичний надлишок δ), а потім виміряємо ще і площа трикутника S, то ставлення S / δ дасть нам квадрат радіуса сфери. Ми можемо тепер перевірити ідеальність сфери, вимірюючи це відношення в різних її місцях і для трикутників різних розмірів. Так, наприклад, якщо взяти трикутник з вершинами на полюсі і в двох точках на екваторі на відстані 90 ° друг від друга, то у такого трикутника всі кути прямі. Сферичний надлишок дорівнюватиме 270-180 = 90 ° = π / 2, що дає для площі πR 2/2, т. Е. Як раз 1/8 площі всієї сфери (4πR 2).
З цього прикладу видно, що властивості поверхні можна описувати і вивчати, не сходячи з самої поверхні, методами; як кажуть, внутрішньої геометрії. Такий опис, очевидно не пов'язане ні з якою зовнішньою системою координат як це було б при описі сфери в тривимірному просторі, коли рівняння сфери в разі потреби треба було пов'язувати з якимись тілами і взагалі вводити на один вимір більше, ніж це потрібно з фізичної точки зору.
Подібно внутрішньої геометрії сфери, можна говорити і про геометрію чотиривимірного простору-часу. Можна описати все його геометричні властивості, не зв'язуючи опис ні з якою системою координат. Зазвичай кажуть, що такий опис не повинно змінюватися, якщо ми замінимо чотири координати x, y, z і t будь-якими іншими.
Якщо рівняння дійсно не змінюються при переході від однієї системи координат x, y, z, t до іншої x '= φ1 (x, y, z, t), y' = φ2 (x, y, z, t), z ' - φ3 (x, y, z, t), t = φ4 (x, y, z, t), де φi - чотири майже довільні функції, то такі рівняння називають коваріантними. Загальна коваріантність виявився дуже важливим, оскільки він дав можливість встановити рівняння тяжіння.
Таким чином, принцип еквівалентності і принцип спеціальної теорії відносності об'єдналися в загальний принцип ковариантности.
Поділіться посиланням з друзями