Визначення [| ]
Багатогранник. точніше тривимірний багатогранник - сукупність кінцевого числа плоских багатокутників в тривимірному евклідовому просторі. така, що:
- кожна сторона будь-якого з багатокутників є одночасно сторона іншого (але тільки одного), званого суміжним з першим (по цій стороні);
- зв'язність. від будь-якого з багатокутників, складових багатогранник, можна дійти до будь-якого з них, переходячи до суміжного з ним, а від цього, в свою чергу, до суміжного з ним, і т. д.
Ці багатокутники називаються гранями. їх боку - ребрами. а їх вершини - вершинами многогранника [1].
Найпростішим прикладом багатогранника є опуклий багатогранник, тобто межа такого обмеженого підмножини евклідового простору, яке є перетином кінцевого числа напівпросторів.
Варіанти значення [| ]
Наведене визначення багатогранника отримує різний сенс залежно від того, як визначити багатокутник. для якого можливі такі два варіанти:
- Плоскі замкнуті ламані (хоча б і самопересекающиеся);
- Частини площині, обмежені ламаними.
У першому випадку ми отримуємо поняття зірчастий багатогранник. У другому - багатогранник є поверхню. складена з багатокутних шматків. Якщо ця поверхня сама себе не перетинає, то вона є повна поверхня деякого геометричного тіла, яке також називається многогранником. Звідси виникає третє визначення багатогранника, як самого геометричного тіла.
Пов'язані визначення [| ]
Багатогранник з n гранями називають n -гранніком. Зокрема, тетраедр - чотиригранник, додекаедр - двенадцатигранник, ікосаедр - двадцатигранник і т. Д.
Опуклий багатогранник [| ]
Багатогранник називається опуклим. якщо він весь розташований по одну сторону від площини кожної його грані.
Для опуклого багатогранника вірна теорема Ейлера В + Г - Р = 2, де В - кількість вершин багатогранника, Г - кількість граней, Р - кількість ребер.
Варіації і узагальнення [| ]
- Поняття багатогранника індуктивно узагальнюється по розмірності; таке узагальнення зазвичай називається n -мірним многогранником.
- Нескінченний багатогранник допускає у визначенні кінцеве число необмежених граней і ребер.
- Криволінійні багатогранники допускають криволінійні ребра і грані.
- Сферичний багатогранник.