Для комутативний груп з можливості перестановки співмножників (2) слід:
Ми вказали, як рівності (3), (4) і (5) доводяться для натуральних чисел m і n. однак ці рівності залишаються вірними для будь-яких цілих чисел m і n. що можна перевірити шляхом розгляду усіх можливих випадків.
З однозначності рішень рівнянь ax = b і ya = b слід наявність в групі G обох зворотних операцій для операції множення. У разі комутативність групи G обидві ці зворотні операції збігаються. Справді, якщо c - рішення рівняння ax = b. то ac = b. Значить, ca = b. т. е. c - рішення рівняння ya = b.
Визначення 5. Операція, зворотна для операції множення в комутативність групі G. називається поділом. Її результат для елементів a і b. т. е. рішення рівнянь ax = b і ya = b. називається приватним елементів b та a і позначається через b: a або.
Аддитивна запис. Групова операція може позначатися через a + b і називатися складанням. Тоді говорять про аддитивной записи групи. В цьому випадку група зазвичай передбачається комутативній. При адитивної записи замість 1 говорять про нулі і замість зворотного елемента a -1 про протилежне елементі - a. Далі, замість ступеня a n говорять про кратному na (не слід розуміти na як твір n і a. Т. К. Ціле число може і не бути елементом групи G). Отже,
Для адитивно записаної групи G сума n елементів позначається так:
і відповідно змінюється вид рівності (1) - (5).
Група, групові операції, операції ділення, складання.