Позначимо через Х кінцеве безліч, а його елементи - через 1,2. п. Розглянемо всі Бієкція (підстановки) s: Х ® X. Легко бачити, що вони утворюють групу щодо операції композиції відображень. Ця група називається симетричної групою п-го ступеня і позначається через Sn або через S (X). Неважко показати, що | Sn | = п!. Так, наприклад, група S3 складається з шести підстановок:
У нижньому рядку вказані образи елементів 1, 2, 3, розташованих у верхньому рядку. Домовимося при обчисленні твори підстановок s1 s2 виконувати відображення справа наліво, тобто спочатку відображення s2. а потім s1. наприклад:
Підгрупи симетричної групи називаються групами підстановок.
Підстановку виду 1®2®3® ... ®k®1 назвемо циклом довжиною k і позначимо (1,2, ..., k). Два циклу називаються незалежними, якщо переміщувані ними елементи попарно різні. Незалежні цикли коммутируют, т. E. для них виконана умова s1 s2 = s2 s1. Цикл довжиною 2 називається транспозицією.
Теорема 1. Кожна підстановка єдиним чином разложима в произведе-ня незалежних циклів.
Теорема 2. Кожна підстановка tÎ Sn є твором транспозиція.
Ні про яку єдиності не може бути й мови хоча б тому, що для будь-якої транспозиції t і підстановки s маємо st 2 = s. Проте, характер парності числа k в розкладанні підстановки в твір транспозиція p = t1 t2 ... tk визначається підстановкою p однозначно. Справді, множення підстановки на транспозицию змінює характер парності перестановки p = a1a2 ... an на протилежний. Тому, якщо транспозиції t1 t2 ... tk призводять перестановку a1a2 ... an до виду 1, ..., n, то p = tk ... t1. і навпаки, тому характер парності підстановки p збігається з характером парності перестановки a1a2 ... an. Підстановка називається парної або непарної залежно від парності числа k.
Теорема 3. При п> 1 кількість парних підстановок одно кількісних-ву непарних підстановок і одно п! / 2.
Неважко показати, що всі парні перестановки утворюють підгрупу групи Sn. Ця підгрупа називається знакозмінної групою і позначається через Аn. При n> 1 маємо розкладання Sn = Аn È(1,2) Аn. Тому [Sn: Аn] = 2. Для будь-якої підстановки pÎSn суміжні класи pАn і Аn p складаються з усіх парних або всіх непарних підстановок в залежності від парності підстановки p. Тому Sn Теорема 4 (Келі). Будь-яка кінцева група G ізоморфна підгрупі симетричної групи Sn, де п = | G |.Схожі статті