У більшості випадків світло поширюється не у вигляді плоскої монохромного хвилі виду
де - фазова швидкість,
а у вигляді суперпозиції хвиль, які мало відрізняються один від одного по частоті. Така суперпозиція хвиль називається хвильовим пакетом або групою хвиль.
Згідно з теоремою Фур'є світловий імпульс, який використовується для передачі сигналу, можна уявити як накладення хвиль види (5.1), частоти яких укладені в деякому інтервалі. Рівняння хвильового пакета має вигляд
У фіксований момент часу пакет має довжину. В межах довжини пакета хвилі в різній мірі підсилюють один одного, а зовні - гасять.
Розрахунок показав, що чим менше ширина пакета, тим більший інтервал частот потрібно для опису його плоскими хвилями. Має місце співвідношення.
У диспергирующей середовищі, на відміну від недіспергирующего, пакет з плином часу розпливається, ширина його збільшується через різні фазових швидкостей, складових його хвиль. Якщо дисперсія невелика, то пакет розпливається повільно і пакету можна приписати швидкість, з якою переміщається центр пакета, точка з максимальним значенням E. Цю швидкість називають груповою швидкістю.
Розглянемо суперпозицію двох хвиль, близьких по частоті, одна хвиля має частоту, інша -. () І однаковими амплітудами. Рівняння плоских хвиль має вигляд
Отримаємо (з урахуванням і): результуюче коливання
Вираз у квадратних дужках являє собою амплітуду результуючої плоскої хвилі. (Так як і малі, то амплітуда змінюється дуже повільно.) Амплітуда має ряд максимумів, визначених співвідношенням
Величина є групова швидкість для двох хвиль, тобто швидкість переміщення максимумів. Можна довести, що центр групи хвиль (5.2) переміщається з груповою швидкістю
З цього, так як, отримаємо:
Так як k - функція, то. Враховуючи що ,
, тому. Отже, групова швидкість може бути записана:
Це співвідношення пов'язує групову і фазову швидкості. При, тобто швидкість зі збільшенням довжини хвилі зростає, групова швидкість менше, ніж фазова швидкість. Так як відповідає - нормальна дисперсія. При аномальної групова швидкість більше фазової. Швидкість поширення енергії пакетом хвиль дорівнює груповій швидкості. У сильно поглинаючих середовищах поняття групової швидкості втрачає сенс.
Для двох хвиль зв'язок і можна розглянути наочно. Коли хвиля 1 має фазову швидкість, то місце А. де хвилі підсилюють одна одну, буде відносно хвиль переміщатися вліво. Для пакета хвиль його центр буде переміщатися з меншою швидкістю, ніж горби і западини. Вони будуть народжуватися спочатку пакета.
Елементарна теорія дисперсії
Хоча рух електронів в атомі підпорядковується законам квантової механіки, для якісного розуміння оптичних явищ. в т.ч. і дисперсії, досить скористатися електромагнітної і електронної теорії речовини. Згідно з якими електрон пов'язаний з атомом квазіпружної і може коливатися. Будучи виведеним з положення рівноваги, електрон, здійснюючи коливальні рухи, втрачає енергію на випромінювання електромагнітних хвиль, і тому коливання загасають. Загасання можна врахувати, якщо ввести «силу тертя випромінювання».
При проходженні через речовину електромагнітних хвиль на електрони діє сила Лоренца:
тобто - дуже мала.
Другим доданком ми можемо знехтувати в порівнянні з першим. Тоді на електрон з боку електромагнітного поля буде діяти змінна сила з частотою електромагнітної хвилі.
Запишемо рівняння 2-го закону Ньютона для руху електрона. Так як на нього діють такі сили:
1. квазіпружної сила, яка повертає (утримує) електрон в стані спокою ().
2. Сила тертя випромінювання
3. Зовнішня періодична сила (5.6)
Таким чином, другий закон Ньютона буде виглядати:
Зневажимо для простоти розрахунків силою тертя випромінювання:
- власна частота коливань електрона
З механіки відомо, що рішенням цього диференціального рівняння є вираз:
де - амплітуда вимушених коливань електрона
Але електричне поле хвилі поляризує молекули, зміщуючи на х електрони. Якщо вважати дипольний момент молекули за відсутності поля дорівнює 0, то при дії поля дипольний момент молекули
I - кількість електронів в молекулі.
Передбачається, що зміщення х відбувається паралельно вектора.
Тоді поляризованность речовини (дипольний. Мом. Од. Об'ема0 під дією електромагнітної хвилі
Знаючи Р знайдемо - діелектричну проникність. Відомо що
З огляду на зв'язок, отримаємо для
де - власна частота коливань i -Електронна в молекулі речовини.
З (5.7) випливає, що при наближенні частоти електромагнітної хвилі до власної частоти електронів в молекулі справа і зліва показник заломлення прагнути до або відповідно Це відбувається тому, що ми нехтуємо тертям випромінювання. Облік цієї сили призводить до залежності, показаної на малюнку.
Таким чином, дисперсія світла пояснюється електронної теорією залежністю від відмінності між резонансними частотами електронів і частотою зовнішнього електромагнітного поля.
При частотах, що відрізняються від. Якщо перейти від n 2 до n. а від до l для цих частот спостерігається нормальна дисперсія (уч. 1-2, 3-4). .
У зоні 2 - 3 спостерігається сильне поглинання електромагнітних хвиль, так як і спостерігається аномальна дисперсія. На уч. 1 -2 - це не суперечить теорії відносності Ейнштейна, так як - фазова швидкість, а не групова (швидкість перед. Енергії).