Предмет геометричній оптики
Під геометричною оптикою розуміють розділ оптики, в якому при вирішенні оптичних завдань нехтують хвильовими властивостями світла. Так передбачається, що:
- довжина хвилі світла нехтує мала,
- поляризація світла не враховується,
- амплітудою хвилі можна знехтувати.
Таким чином, цей метод має значні обмеження або не застосовують взагалі у випадках, коли не можна знехтувати хвильовими властивостями світла.
Основним завданням геометричній оптики є знаходження траєкторій поширення променів світла в середовищі, траєкторій променів після відображення або проходження кордонів розділу середовищ з метою побудови зображення предмета.
Основні закони геометричної оптики
Закони геометричної оптики були встановлені експериментально.
Закон прямолінійного поширення світла
«В однорідному середовищі світло поширюється вздовж прямої лінії». Цей закон порушується у випадках, коли стають істотними дифракційні ефекти.
Закон незалежності світлових пучків
«Світлові промені поширюються незалежно один від одного», тобто не роблять ніякого впливу друг на друга. Цей закон порушується у випадках, коли необхідно враховувати явища інтерференції і залежності оптичних властивостей середовища від інтенсивності світла.
Закон відбиття від поверхні
«Падаючий промінь, відбитий промінь і нормаль до поверхні лежать в одній площині, а кут, під яким світло відбивається від поверхні, дорівнює за величиною кутку, під яким світло падає на цю поверхню». Кут відраховується від нормалі до поверхні проти годинникової стрілки.
Мал. 1. Падаючий промінь - 1, відбитий промінь - 1 '
Математично цей закон виражається формулами:
-a '= a або | a' | = | A | (1)
Закон заломлення на межі розділу двох середовищ (Закон Снелла)
«Падаючий промінь, заломлений промінь і нормаль до поверхні розділу лежать в одній площині, а твір показника заломлення середовища на синус кута між нормаллю не змінюється при переході через кордон розділу двох середовищ».
Мал. 2. Падаючий промінь - 1, переломлений промінь - 1 '
Математично цей закон виражається наступною формулою:
Під показником заломлення середовища n розуміють відношення швидкості світла у вакуумі - c до швидкості світла в середовищі - v:
З (2), з урахуванням знаків кутів, для закону відображення має виконуватися рівність n1 × sina = - n2 sina '. звідки слід:
Таким чином, результати, отримані для заломлення на поверхні можна застосувати для розгляду випадку відображення зробивши заміну (4).
З рівняння (2) випливає, що при n1
У разі, коли n1> n2. тобто в разі падіння світла з оптично більш щільного середовища на кордон середовища з меншою оптичною густиною, кут заломлення більше кута падіння a1 Закон взаємності (Оборотності ходу променів) «При зміні напрямку поширення світла в променях на протилежне їх взаємне розташування не змінюється». Тобто, при зміні напрямку стрілок на малюнках в законах відображення і заломлення положення променів не змінюються. Фактично цей закон фіксує той факт, що поширення світла між двома точками в просторі завжди відбувається за одним і тим самим шляхом, незалежно від напрямку. Цей закон порушується у випадках, коли потрібно враховувати поляризацію світла. Закони геометричної оптики, що стосуються напряму променів, як виявилося пізніше, є наслідком принципу, встановленого італійським математиком Ферма: «Світло між двома точками поширюється по шляху, який вимагає найменшого часу, в порівнянні з будь-якими іншими шляхами між цими точками». В даний час цей принцип формулюється так: «Шлях, по якому поширюється світло, відповідає екстремуму часу поширення». Це означає, що час поширення цим шляхом може бути як мінімальною, так і максимальною або рівним в порівнянні з часом при поширенні по всім іншим можливим шляхам. Висновок законів геометричної оптики з принципу Ферма наведено нижче, щоб прояснився сенс фрази «екстремум часу поширення». Закон прямолінійного поширення. Дійсно, закон прямолінійного поширення світла тривіальним чином випливає з принципу Ферма, оскільки в однорідному середовищі швидкість поширення не змінюється, то найменший час для проходження між двома точками буде мати місце при русі по найкоротшому шляху, тобто вздовж прямої лінії (показано стрілкою), що з'єднує ці точки. Мал. 3. З усіх можливих траєкторій (показані штриховий лінією) в однорідному середовищі промінь світла піде по найкоротшому шляху АВ Закон відображення. Закон відображення виводиться також як і в попередньому випадку, тільки з урахуванням того, що на поверхні, що відбиває відбувається злам траєкторії. Дійсно, з точки А в точку В можна потрапити при відображенні від будь-якої точки поверхні. Візьмемо на поверхні точку C. відповідну відображенню під тим же кутом, під яким відбувається падіння, і будь-яку точку D, від якої відображення відбувається під кутом не рівним куту падіння. Точка В 'є відображенням точки B відносно площини, тобто відстані від цих точок до площини рівні. З малюнка видно, що | CB | = | CB '| і | DB | = | DB '|, але тоді | АСВ | = | АСВ '| і | АDB | = | D В '|. З малюнка видно, що | ACB '| <|ADB' |, и, следовательно, время на прохождение пути |АСВ | будет наименьшим. Таким образом, отраженный луч будет двигаться вдоль направления, которое составляет с нормалью угол, равный углу падения. Мал. 4. Якщо дзеркально відобразити точку B щодо поверхні, то пряма AB 'перетне поверхню в точці, в якій буде виконуватися закон відображення Закон заломлення. Щоб отримати закон заломлення з принципу Ферма, розглянемо поширення світла з точки A в точку B. знаходяться в середовищах з показниками заломлення n1 і n2. відповідно. Треба визначити місце розташування точки C на кордоні розділу, для якої виконується принцип Ферма. Введемо декартову систему координат як показано на малюнку. Тоді положення точки C буде залежати тільки від координати x. Тоді екстремум часу поширення між точками A і B визначається з рівності нулю похідної = 0, де t - час поширення між точками A і B. Це час складається з часів поширення в кожній з середовищ: t = t1 + t2. де t1 = = =. а t2 = = =. Знайдемо похідну і прирівняємо її нулю: З останнього рівності випливає закон Снелла (2). Мал. 5. Траєкторія поширення світла з A в B. якщо ці точки знаходяться в середовищах з різними показниками заломлення. У точці С повинен виконуватися закон заломлення Принцип Ферма дозволяє отримувати траєкторію поширення світла і в неоднорідному середовищі. Наприклад, з останнього малюнка видно, що якщо показник заломлення в другому середовищі буде збільшуватися з видаленням від кордону розділу, то кут заломлення з віддаленням від поверхні буде зменшуватися, тобто переломлений промінь світла в такому середовищі буде поширюватися вздовж деякої кривої. Основні поняття і наближення геометричної оптики За допомогою законів геометричної оптики можна побудувати зображення предмета, що отримується будь оптичною системою, в якій можна знехтувати хвильовими властивостями світла. Для цього кожну точку предмета, вважають джерелом світла і знаходять положення її зображення після проходження оптичної системи. Сукупність зображень точок предмета дає зображення всього предмета. Але в загальному випадку складної оптичної системи побудова зображення пов'язане з громіздкими обчисленнями, тому вводять ряд наближень, що спрощують побудову. Під оптичною системою тут розуміється набір чергуються заломлюючих або відображають сферичних поверхонь. Плоска поверхня є окремим випадком сферичної поверхні з радіусом R = ∞. Передбачається надалі, що всі центри сферичних поверхонь, які складають систему, лежать на одній прямій, яку називають головною оптичною віссю. У цьому випадку говорять, що система центрована. Мал. 6. Центрована система, що складається з двох сферичних заломлюючих поверхонь різного радіусу. Центри поверхонь позначені як C. вони знаходяться на одній прямій, званої головною оптичною віссю Надалі передбачається, що пучок світла від джерела складається з пріосевой променів, тобто променів відхиляються на невеликий кут від головної оптичної осі, для них тоді кут падіння на здатність заломлення поверхню можна також вважати малим. Пучок таких променів називають параксіальної. Якщо промені світла, що становлять пучок, виходять з однієї точки, то такий пучок називають гомоцентріческіх. Окремий випадок гомоцентріческіх пучка - пучок паралельних променів, в цьому випадку вважається, що їх джерело знаходиться в нескінченності. Якщо зображенням будь-якої точки предмета є також точка, то в цьому випадку говорять, що зображення стигматичні або точкове. Оптична система, що дає стигматичні зображення, називається ідеальною. Розрізняють дійсні та уявні зображення. Дійсне зображення - зображення, що вийшло в результаті перетину променів. пройшли через систему. Уявне зображення - зображення, що вийшло в результаті перетину продовжень променів. пройшли через систему, в напрямку, протилежному поширенню світла. Мал. 7. На першому малюнку показано дійсне зображення, отримане перетином заломлених променів, на другому малюнку уявне зображення, отримане перетином продовжень променів, заломлених на сферичної поверхні Точка P. в якій знаходиться джерело, і точка P ', в якій виходить його зображення, називають сполученими точками. так як відповідно до закону взаємності їх можна поміняти місцями, тобто джерело в точці P 'дасть зображення в точці P. Таким чином, оптичну систему можна розглядати як систему, що здійснює взаємно однозначне перетворення точок предмета в точки зображення. Ідеальна оптична система Загальну теорію ідеальних оптичних систем розвинув німецький математик і фізик Гаусс на основі подання про оптичну систему як деякому перетворенні точок предмета (ще говорять - простору предметів) в точки зображення (простір зображень). Оскільки в ідеальній оптичній системі точка в просторі предметів перетворюється в єдину пов'язану точку в просторі зображення, то пряма, в просторі предметів повинна перетворюватися в пов'язану пряму в просторі зображень, при цьому порядок проходження трьох точок на прямій в просторі предметів в просторі зображення не змінюється. Тобто ідеальна оптична система, з якого б числа заломлюючих поверхонь вона не перебувала, здійснює тільки перетворення подібності і тоді цю систему можна розглядати формально, користуючись деякими правилами перетворення точок предмета в точки зображення. Для цього введемо дві паралельні площині H і H '. перпендикулярні головної оптичної осі системи. Для цих площин має виконуватися така умова: відрізок ВА на першій площині перетворюється оптичною системою в відрізок В'A 'другий площині без зміни довжини відрізка, тобто для цих площин коефіцієнт подібності V = 1, і для будь-якої точки А площині H сполучена її точка A 'на площині H' виходить перенесенням точки А до H 'паралельно головній оптичній осі. Ці площини називають головними. Площина H на яку падає світло з простору об'єктів називають першою (або передній). Всі відстані в площині предметів відраховуються від цієї площини, а все відстані в площині зображення відраховуються від другої (задній) площині H '. Тому їх і назвали головними. При отсчітиваніі відстаней використовують правило знаків. якщо відлік відстані ведеться проти напрямку поширення світла, то ці відстані беруться зі знаком «-», якщо відлік ведеться у напрямку поширення світла, то ці відстані беруться зі знаком «+». Оскільки система ідеальна, тобто гомоцентріческіх точка в просторі предметів переходить в гомоцентріческіх точку в просторі зображення, то справедливі такі два правила перетворення променів в оптичній системі: 1. Джерело на нескінченності, промені від якого йдуть паралельно оптичної осі (промені 1 і 2 до площини H), перетворюється системою в точку F '(одержувану перетином пов'язаних променів 1' і 2 'після площині Н') на оптичної осі. Точка F 'називається заднім фокусом. Відстань | B'F '| = B'F 'називають заднім фокусною відстанню. Площина, що проходить через точку F '. перпендикулярна головної оптичної осі, називається задньою фокальною площиною. 2. На головній оптичній осі існує точка F. з якої світло джерела (промені 1 і 3) після задньої головної площини поширюється паралельно оптичної осі (промені 1 'і 3'), тобто перетвориться в точкове зображення, що знаходиться в нескінченності. Точка F називається переднім фокусом. Відстань | BF | = - BF називають переднім фокусною відстанню (знак мінус перед BF з'явився за правилом знаків). Площина, що проходить через точку F. перпендикулярна головної оптичної осі, називається передньою фокальною площиною. Мал. 8. Побудова зображення в ідеальній оптичній системі: промені 1 і 2, паралельні головній оптичній осі, перетнуться в задньому фокусі системи F '; промені 1 і 3. виходять з фокуса F. після задньої головної площини поширюються паралельно головній оптичній осіСхожі статті