На цьому малюнку Моріц Ешер зобразив гіперболічне простір. Насправді все риби однакові за розміром, а кругова межа нескінченно далека від центру диска. На плоскій проекції гіперболічного простору віддалені риби стискуються, щоб нескінченний простір вмістилося в кінцевому колі.
Якщо побудувати зображення без стиснення, простір виявиться сильно вигнутим, причому кожен маленький ділянку його матиме седлообразную форму з додатковими складками (зображення з сайту www.oko-planet.spb.ru)
У добре нам знайомої евклідової геометрії простір є плоским (тобто не викривленим). До певної міри це справедливо і для оточуючого нас світу: паралельні лінії ніколи не перетинаються, і виконуються всі інші аксіоми Евкліда. Нам також знайомі і вигнуті простору. Викривлення може бути позитивним і негативним. Найпростіше простір з позитивною кривизною - це поверхня сфери, яка має постійну позитивну кривизну, тобто однаково викривлена в кожній точці (на відміну, скажімо, від яйця, яке на гострому кінці має велику кривизну).
Найпростіше простір з постійною негативною кривизною називають гіперболічним. На одній зі своїх картин Моріц Ешер зобразив плоску карту такого простору. По краях рибки стають все менше і менше через те, що викривлене простір деформується при відображенні на плоский аркуш паперу. Точно також на карті земної кулі країни поблизу полюсів розтягуються.
Подібним чином можна розглядати і простір-час з позитивною або негативною кривизною. Найпростіше простір-час з позитивною кривизною називають простором де Ситтера в честь голландського фізика Віллема де Ситтера, який ввів його в розгляд. Багато космологи вважають, що дуже рання всесвіт була близька до простору де Ситтера. У далекому майбутньому через космічне прискорення вона знову може стати схожою на нього. Найпростіше простір-час з негативною кривизною називають анти-де Сіттеровскім простором (або коротко - АДС-простором). Подібне до гіперболічного, але також містить вісь часу. На відміну від нашого всесвіту, яка розширюється, АДС-простір не розширюється, не стискується і завжди виглядає однаково. Тим не менше, воно виявляється дуже корисним при розробці квантових теорій простору-часу і гравітації.
Якщо ми покажемо гіперболічне простір у вигляді диска, що нагадує малюнок Ешера, то АДС-простір буде схоже на стопку таких дисків, що утворить суцільний циліндр. Зміні часу відповідає рух уздовж циліндра. Гіперболічне простір може мати більше двох вимірів. АДС-простір, найбільше схоже на наше простір-час (з трьома просторовими вимірами), дає в поперечному перерізі свого «циліндра» тривимірну «картину Ешера».
Фізика в АДС-просторі дещо незвична. Вільно переміщаючись в ньому, спостерігач відчував би себе як на дні гравітаційного колодязя. Будь кинутий їм предмет повертався б до нього як бумеранг. Цікаво, що час, необхідний для повернення, не залежало б від того, з якою силою був кинутий предмет. Однак чим сильніше кинути його, тим далі він пролетить туди і назад. Якби мешканцеві цього химерного світу заманулося посвітити лазером куди-небудь в порожнечу, то фотони, які рухаються зі швидкістю світла, досягли б нескінченності і повернулися до джерела випромінювання за кінцевий час. Справа в тому, що в АДС-просторі об'єкти, віддаляючись від спостерігача, зазнають дедалі більшого скорочення часу.
У голографічного теорії мова йде про негативно зігнутому просторі-часі (анти-де Сіттеровское простір, або АДС-простір)
Уявіть собі диски гіперболічного простору, складені один на інший. Кожен диск являє стан всесвіту в певний момент часу. Одержаний циліндр - тривимірне АДСпространство, в якому вісь часу спрямована вздовж твірної. Фізика в такому пространствевремені дещо незвична: частка (наприклад, тенісний м'яч, зелена лінія), кинута від центру, завжди повертається назад за певний проміжок часу. Лазерний промінь (червона лінія) досягає межі всесвіту і повертається назад за той же самий час. В чотиривимірному АДСпространстве, яке більше схоже на наш Всесвіт, межа в кожен момент часу була б не кругом, а сферою.