Імпульс механічної системи

Розглянемо систему матеріальних точок. Імпульс системи дорівнює геометричній сумі імпульсів всіх n матеріальних точок системи:

Перетворюючи останню рівність і використовуючи формулу (2.11), отримаємо:

З (2.14) випливає, що імпульс системи точок дорівнює добутку маси всієї системи на швидкість її центру мас.

Перетворивши рівняння (2.13) з урахуванням виразу (2.14), отримаємо,

Рівняння (2.16) виражає теорему про зміну імпульсу системи: швидкість зміни імпульсу механічної системи дорівнює сумі всіх зовнішніх сил, прикладених до системи. Відповідно до рівняння (2.15), імпульс системи може змінюватися під дією тільки зовнішніх сіл.Внутрен-ня сили не можуть змінити імпульс системи.

Замкнута система називають систему точок, на яку не діють зовнішні сили. Для замкнутої системи права частина рівняння (2-15) дорівнює нулю:

Отримане рівність висловлює собою закон збереження імпульсу. імпульс замкнутої системи не змінюється з часом. При цьому імпульси окремих точок або частин замкну-тій системи можуть змінюватися з часом:

однак ці зміни зав-жди відбуваються так, що приріст імпульсу однієї частини системи дорівнює убутку імпульсу решти системи.

1. Імпульс може збереженні-тися і для незамкненою сис-теми за умови, що ре-зультірующая всіх зовнішніх сил дорівнює нулю.

2. У незамкненою системи може зберігатися сам імпульс, а його проекція Pх на деякий направле-ня х. Причина цього полягає в тому, що коли проекція результуючої зовнішньої сили на напрямок х дорівнює нулю, т. Е. Вектор перпендикулярний йому. Дійсно, спро-ктіровав рівняння (2.16), отримаємо

звідки випливає, що якщо, то Px = const. Напри-заходів, при русі системи в однорідному полі сил тя-жерсті зберігається проекція її імпульсу на будь-гори-зонтальним напрямок незалежно від процесів, що відбуваються в системі. При горизонтальному переміщенні людини в спочатку покоїться човні, імпульс системи людина-човен човен буде дорівнює нулю. Центр мас системи людина-човен буде нерухомий, так як сума зовнішніх сил в горизонтальному напрямку дорівнює нулю (якщо знехтувати силами опору) і відповідно до (2.14) швидкість центру мас також дорівнює нулю.

Приклад 2.1.Найті закон руху матеріальної точки, що рухається по прямій під дією пружної сили F = -kx. Рух починається з початку координат x = 0 в момент часу t = 0 з початковою швидкістю # 965; 0.

Рівняння (2.3) в одновимірному випадку () набуде вигляду:

Це диференціальне рівняння з постійними коефіцієнтами. З математики відомо, що рішення цього диференціального рівняння має вигляд:

Константи A і # 966; знайдемо з початкових умов:

значення # 969; 0 визначимо, підставивши рішення (2.18) в рівняння (2.17):

Шуканий закон має вигляд:

Рух, який задано синусоїдальною функцією (2.18), називається гармонійним коливанням. Величина w0 є циклічна частота власних коливань матеріальної точки, А - амплітуда коливань, # 966; - початкова фаза.

Приклад 2.2. Застосування закону руху центру мас для розрахунку сил тертя ковзання.

Однорідний циліндр масою m рівномірно обертається між двома взаємно перпендикулярними площинами (рис. 2.3). Коефіцієнт тертя ковзання циліндра про площині дорівнює m. Знайти сили тертя ковзання.

На циліндр діють сили тертя і, сили реакції з боку площин, і та сила тяжіння mg (рис. 2.3), які є зовнішніми, т. Е. Обумовлені дією зовнішніх тел. Центр мас циліндра (точка, яка лежить на осі циліндра С) нерухомий. Тому ліва частина рівняння (2.14) дорівнює нулю. Перепишемо це рівняння в проекціях на осі x і y:

Сили тертя ковзання рівні Fтр1 = mN1 і Fтр2 = mN2. Підставивши ці вирази в (2.19), отримаємо:

Схожі статті