Інтеграли від комплекснозначних функцій дійсного аргументу

Це визначення має, звичайно, сенс тільки тоді, коли обидва інтеграла в правій частині рівності існують.
Інтеграл f (x) dx називається невласних. якщо хоча б один з інтегралів u (x) dx. v (x) dx невласний. При цьому невласний інтеграл f (x) dx називається збіжним, якщо сходяться обидва інтеграла u (x) dx. v (x) dx. У цьому випадку, згідно з визначенням, має місце рівність (29.51).
Функція f (x) називається абсолютно інтегрованою. якщо абсолютно інтегровними функції u (x) і v (x). Визначення (29.51) зберігає властивість лінійності:

Ряд властивостей інтеграла від дійсних функцій (адитивність по множинам інтегрування, формула Ньютона-Лейбніца, правила заміни змінної та інтегрування частинами) також переноситься і на випадок комплекснозначних функцій.
Якщо f (x) = u (x) + iv (x), причому справжні функції u (x) і v (x) інтегровними за Ріманом на відрізку [a, b], то інтеграл f (x) dx. також званий в цьому випадку інтегралом Рімана. є межею (комплекснозначних) інтегральних сум = f (k) xk. де - розбиття відрізка [a, b],
xk -1

| | - обмеженість розбиття.
Звідси тим же методом, що і для дійсних функцій, легко показати, що якщо для функції f існує інтеграл Рімана, то він існує і для її абсолютної величини, причому

Граничним переходом справедливість цієї нерівності встановлюється і для абсолютно інтегруються в несобственном сенсі комплекснозначних функцій.
Подібним же чином вводиться і поняття невизначеного інтеграла від функції (29.50):

Для цього інтеграла також має місце властивість лінійності, справедливі формули заміни змінної та інтегрування частинами, які в силу формули (29.52) випливають з відповідних властивостей інтегралів від функцій дійсного аргументу, що приймають тільки дійсні значення.
Для безперервних функцій f певний і невизначений інтеграли (29.51) і (29.52), як і в дійсній області, пов'язані співвідношенням