16 Інтеграли, залежні від параметра
Нехай f (x, y) - функція двох змінних, визначена на прямокутнику
Якщо для будь-якого yÎ [c. d] існує інтеграл, то цей інтеграл є функцією від змінної y (яка і називається тут параметром):
.
Таким чином, ми отримуємо новий спосіб завдання функції - у вигляді інтеграла, залежного від параметра.
Приклад 1. Розглянемо функцію. У цьому прикладі інтеграл легко обчислити:. Значить, I (a) можна задати і звичайним способом:.
Однак часто зустрічаються інтеграли, що не виражаються через елементарні функції. Тоді доводиться працювати з функцією, заданою у вигляді інтеграла з параметром. Значить, потрібно навчитися працювати з такими функціями - зокрема, знати правила їх диференціювання і інтегрування.
Можлива і більш складна ситуація, коли від параметра залежить не тільки подинтегральная функція, а й межі інтегрування:.
16.1 Основні теореми
16 .1 .1 Граничний перехід під знаком інтеграла.
Теорема 1 (про неперервність інтеграла з параметром). Якщо функція f (x, y) неперервна на прямокутнику D = [a. b] '[c. d]. то функція неперервна на відрізку [c. d].
Доведення . По теоремі Кантора, безперервна на компактному безлічі D функція є рівномірно безупинної, тобто
"E> 0 $ d> 0:" x ¢, x², y ¢, y² | x ¢ -x² | . Оцінимо тепер приріст функції I (y): . Зауваження. У теоремі 1 потрібно, щоб f (x, y) була неперервна по обидва змінним в сукупності. тобто щоб. Недостатньо, щоб f (x, y) була безперервною по кожній із змінних. Наприклад, функція неперервна по х (при будь-якому фіксованому y), і неперервна по y (при будь-якому фіксованому х) .Однак безперервною функцією (за сукупністю змінних) в точці (0. 0) вона не є: межа не існує. В даному випадку несправедливий і висновок теореми 1; наприклад, функція розривна в точці y = 0. Так як безперервність I (y) означає, за визначенням, що в будь-якій точці y0. то безпосередньо з теореми 1 випливає . Якщо j (y), y (y) - безперервні функції, а f (x, y) неперервна на множині . Це твердження підсилює теореми 1 і 2. Ще одне посилення теорем 1, 2 пов'язано з заміною вимоги безперервності f (x, y) більш слабким умовою. Теорема3. Якщо f (x, y) неперервна по x (при будь-якому фіксованому y) і f (x, y) рівномірно сходиться до функції g (x) при y®y0. то. Рівномірна збіжність: означає: Доказ просто - воно проводиться за допомогою тієї ж оцінки, що і доказ теореми 1. Теорема 3 справедлива також в разі y® ¥. лише визначення рівномірної збіжності має інший вигляд: при y® ¥ Û "e $ M." y ³M | f (x, y) -g (x) | Приклад 2. Обчислити. Рішення . Так як функції безупинні при будь-яких x, y. то можливий граничний перехід під знаком інтеграла: . Приклад 3. Обчислити. Рішення . Підінтегральна функція неперервна при будь-яких x. y і при y® ¥ прагне до g (x) = x: . Ця збіжність рівномірна, так як "xÎ [0. 1] , якщо тільки . Значить, можливий перехід до межі під знаком інтеграла: . 16 .1 .2 Диференціювання по параметру. Теорема 4. Нехай функція f (x, y) і її похідна по змінній y безперервні на D = [a. b] '[c. d]. тоді . Іншим словами, похідну можна обчислювати шляхом диференціювання під знаком інтеграла. Доведення . Обчислюємо похідну за визначенням: . Залишилося довести, що можна перейти до межі під знаком інтеграла. Щоб скористатися теоремою 3, доведемо, що. Застосуємо теорему Лагранжа: , де cÎ [y, y + Dy]. За умовою, - неперервна, а значить, по теоремі Кантора, і рівномірно неперервна. Звідси слідує що , але це і означає рівномірну збіжність: . Застосовуючи теорему 3, отримуємо те, що було потрібно . Приклад 4. Знайти похідну функції в точці y = 2. Рішення. Можна, обчисливши інтеграл, знайти явне вираження для функції I (y). а потім продифференцировать. Простіше, однак, застосувати теорему 4: , . При xÎ [0. 1] і значеннях y. близьких до 2. функція і її похідна, очевидно, безперервні.Схожі статті