16 Інтеграли, залежні від параметра
Нехай f (x, y) - функція двох змінних, визначена на прямокутнику
Якщо для будь-якого yÎ [c. d] існує інтеграл, то цей інтеграл є функцією від змінної y (яка і називається тут параметром):
.
Таким чином, ми отримуємо новий спосіб завдання функції - у вигляді інтеграла, залежного від параметра.
Приклад 1. Розглянемо функцію. У цьому прикладі інтеграл легко обчислити:. Значить, I (a) можна задати і звичайним способом:.
Однак часто зустрічаються інтеграли, що не виражаються через елементарні функції. Тоді доводиться працювати з функцією, заданою у вигляді інтеграла з параметром. Значить, потрібно навчитися працювати з такими функціями - зокрема, знати правила їх диференціювання і інтегрування.
Можлива і більш складна ситуація, коли від параметра залежить не тільки подинтегральная функція, а й межі інтегрування:.
16.1 Основні теореми
16 .1 .1 Граничний перехід під знаком інтеграла.
Теорема 1 (про неперервність інтеграла з параметром). Якщо функція f (x, y) неперервна на прямокутнику D = [a. b] '[c. d]. то функція неперервна на відрізку [c. d].
Доведення . По теоремі Кантора, безперервна на компактному безлічі D функція є рівномірно безупинної, тобто
"E> 0 $ d> 0:" x ¢, x², y ¢, y² | x ¢ -x² |
.
Оцінимо тепер приріст функції I (y):
.
Зауваження. У теоремі 1 потрібно, щоб f (x, y) була неперервна по обидва змінним в сукупності. тобто щоб.
Недостатньо, щоб f (x, y) була безперервною по кожній із змінних. Наприклад, функція
неперервна по х (при будь-якому фіксованому y), і неперервна по y (при будь-якому фіксованому х) .Однак безперервною функцією (за сукупністю змінних) в точці (0. 0) вона не є: межа не існує. В даному випадку несправедливий і висновок теореми 1; наприклад, функція
розривна в точці y = 0.
Так як безперервність I (y) означає, за визначенням, що в будь-якій точці y0. то безпосередньо з теореми 1 випливає
.
Якщо j (y), y (y) - безперервні функції, а f (x, y) неперервна на множині
.
Це твердження підсилює теореми 1 і 2.
Ще одне посилення теорем 1, 2 пов'язано з заміною вимоги безперервності f (x, y) більш слабким умовою.
Теорема3. Якщо f (x, y) неперервна по x (при будь-якому фіксованому y) і f (x, y) рівномірно сходиться до функції g (x) при y®y0. то.
Рівномірна збіжність: означає:
Доказ просто - воно проводиться за допомогою тієї ж оцінки, що і доказ теореми 1.
Теорема 3 справедлива також в разі y® ¥. лише визначення рівномірної збіжності має інший вигляд:
при y® ¥ Û "e $ M." y ³M | f (x, y) -g (x) |
Приклад 2. Обчислити.
Рішення . Так як функції безупинні при будь-яких x, y. то можливий граничний перехід під знаком інтеграла:
.
Приклад 3. Обчислити.
Рішення . Підінтегральна функція неперервна при будь-яких x. y і при y® ¥ прагне до g (x) = x:
.
Ця збіжність рівномірна, так як "xÎ [0. 1]
, якщо тільки . Значить, можливий перехід до межі під знаком інтеграла:
.
16 .1 .2 Диференціювання по параметру.
Теорема 4. Нехай функція f (x, y) і її похідна по змінній y безперервні на D = [a. b] '[c. d]. тоді
.
Іншим словами, похідну можна обчислювати шляхом диференціювання під знаком інтеграла.
Доведення . Обчислюємо похідну за визначенням:
.
Залишилося довести, що можна перейти до межі під знаком інтеграла. Щоб скористатися теоремою 3, доведемо, що.
Застосуємо теорему Лагранжа:
, де cÎ [y, y + Dy]. За умовою, - неперервна, а значить, по теоремі Кантора, і рівномірно неперервна. Звідси слідує що
, але це і означає рівномірну збіжність:
.
Застосовуючи теорему 3, отримуємо те, що було потрібно
.
Приклад 4. Знайти похідну функції в точці y = 2.
Рішення. Можна, обчисливши інтеграл, знайти явне вираження для функції I (y). а потім продифференцировать. Простіше, однак, застосувати теорему 4:
,
.
При xÎ [0. 1] і значеннях y. близьких до 2. функція і її похідна, очевидно, безперервні.