околиця U точки y 0 така, що для всіх y U ˙ ∩ Y і для всіх x X має місце нерівність | f (x, y) - φ (x) | <ε .
Лемма 4.2. З рівномірної збіжності слід точкова.
Зауваження. Зворотне невірно, приклад: f (x, y) = x y на [0; 1] 2.
Кажуть, що f (x, y) сходиться рівномірно на X при y → y 0. якщо існує її точковий межа, і має місце рівномірна збіжність до цього точкового межі.
Теорема 4.26 (критерій Больцано-Коші). f (x, y) сходиться рівномірно на X
при y → y 0 тоді і тільки тоді, коли для будь-якого ε> 0 знайдеться околиця U точки y 0 така, що для всіх y 1. y 2 U ˙ ∩ Y і для всіх x X має місце нерівність | f (x, y 1) - f (x, y 2) | <ε .
Слідство 4.6 (критерій Больцано-Коші для послідовності). fn (x) сходиться раномерно на X при n → ∞ тоді і тільки тоді, коли для будь-якого ε> 0 існує NN таке, що для будь-якого n> N і будь-якого натурального p має місце нерівність | fn (x) - f n + p (x) | <ε.
Теорема 4.27. f (x, y) φ (x) тоді і тільки тоді, коли для будь-якої последо-
вательності y n → y 0. лежить в Y. має місце рівномірна збіжність
4.6. Інтеграли З ПАРАМЕТРАМИ
Теорема 4.28 (теорема Діні). Нехай f (x, y) задовольняє умовам: 1) f (x, y) неперервна по x при кожному y Y;
2) f (x, y) монотонна по y при кожному x X;
3) f (x, y) сходиться точково до φ (x) при y → y 0;
4) φ (x) неперервна по x;
5) X замкнуто і обмежена (компакт).
[Спочатку доводимо для послідовностей]
точці x 0. то φ (x) неперервна в точці x 0.
[Доводимо спочатку для послідовності]
Для безперервних функцій, заданих на множині X можна задати норму:
У більш загальному випадку (функції можуть бути не безупинні) такий функціонал задає напівнорма. Збіжність в просторі функцій за такою напівнорма еквівалентна рівномірної збіжності.
Теорема 4.30. f (x, y) φ (x) тоді і тільки тоді, коли kf (x, y) -φ (x) k ∞ → 0
Теорема про перестановку меж.
Теорема 4.31. Якщо f (x, y) φ (x) і при кожному y існує точковий пре-
справ lim f (x, y). то
lim lim f (x, y) = lim lim f (x, y).
4.6.2 власні інтеграли з параметром
Нехай f (x, y) визначена на [a; b] × Y і y 0 - гранична точка Y. Нехай, крім того, f (x, y) інтегрована на [a; b] при кожному y Y. Позначимо
Теорема 4.32 (перестановка межі і інтеграла). Якщо f (x, y) неперервна по