Вона виходить почленного інтеграції формули похідної твори. Іноді використовують іншу форму запису формули (2.1)
Зміст формули в тому, що похідна перекидається з одного сомножителя на інший і інтеграл при цьому може виявитися простіше, ніж вихідний.
Можна виділити принаймні два класи інтегралів, для яких може бути застосована формула інтегрування частинами.
де - многочлен ступеня n. Як потрібно взяти. а - інший співмножник.
При цьому формулу доводиться застосувати стільки раз, як і ступінь многочлена
В цьому випадку, навпаки, слід покласти =.
Розглянемо застосування зазначеної схеми.
Це інтеграл першого типу, тому:
Це інтеграл другого типу, тому маємо:
Зауважимо, що при використанні формули інтегрування частинами доводиться відновлювати функцію по її похідної. Тому в якості сомножителя потрібно брати легко інтегруються функцію.
Формула інтегрування частинами може добре спрацювати і в інших випадках.
Отримали рівняння відносного вихідного інтеграла I. Виносячи I за дужку, отримаємо
У цьому прикладі доцільно перш зробити заміну змінної. Введемо позначення. тоді. .
Після підстановки отримаємо інтеграл:
Неважко помітити, що і береться за формулою. тому введемо такі позначення:
Використовуючи формулу інтегрування частинами, отримаємо:
У наступному прикладі вибір u і визначається тим, що u належить диференціювати (що можливо при будь-якої складності її завдання), а - інтегрувати (що можливо далеко не завжди).
Введемо позначення. або
За формулою інтегрування частинами маємо:
Знайдемо отриманий інтеграл наступним чином:
Таким чином, отримали лінійне рівняння відносно шуканого інтеграла, вирішуючи яке, отримаємо:
Питання для самоперевірки
1. У чому суть формули інтегрування частинами?
2. Які типи інтегралів знаходяться по даній формулі? Чому?
3. В яких випадках формула інтегрування частинами застосовується кілька разів і чому?
4. Чим визначається вибір?