Нехай подинтегральная ф-ія в інтегралі неперервна на Х і ф-ія дифф. на проміжку Т і має на ньому зворотну ф-ію з на проміжку Х. тоді справедливо:
Алгоритм інтегрування підстановкою.
1. Для інтеграла подинтегральная ф-ія така, що є табличним або зводиться до нього так, що легко знаходиться.
2. Нах. зворотний ф-ію і підставляємо в, яка і буде первісною для вихідного інтеграла.
1. Частина подинтегрального вираження вводиться під знак диференціала і отриманий вираз під знаком диференціала позначається як нова змінна.
2. У підінтегральної ф-ії робиться заміна змінної на нову, знаходиться від нової змінної.
3. У возвращ. до старої змінної.
Інтегрування по частинах.
Інтегрую вираз будь-якого диференціала твори, отримаємо:
У інтеграли з подинтегрального виразом вигляду:
(Pn -многочлен ступеня n)
Pn приймається за u
У інтеграли з подинтегрального виразом вигляду:
Інтегрування з підстановкою виразів виду після дворазового інтегрування частинами приводиться до лінійного рівняння щодо обчислюється інтеграла.
Інтегрування дробово-раціональних виразів
Df Дробово-раціональна ф-ія - відношення 2х многочленів - многочлени ступені n і m відповідно.
Раціональний дріб правильна, якщо ступінь чисельника строго менше ступеня знаменника, назад - неправильна.
Zm Неправильна раціональний дріб шляхом виділення цілої частини наводиться до суми многочлена та правильного раціонального дробу; многочлен називається цілою частиною неправильного дробу.
Найпростіші (елементарні) раціональні дроби та їх застосування.
До простих раціональним дробям відносяться раціональні дроби типів:
2. - речові постійні,
Інтегрування 1го типу:
Інтегрування 2го типу:
Інтегрування 3го типу:
проводиться в два етапи:
1. В чисельнику виділяється диференціал знаменника:
2. Виділення повного квадрата в знаменнику другого інтеграла.
Інтегрування 4го типу:
1. Виділяємо в чисельнику *** знаменника:
Виділяємо в знаменнику 2го інтеграла ф-ли квадрата:
Рекурентна формула для обчислення Jm (обчислення відбувається шляхом підстановки в відому форму)
Метод невизначених коефіцієнтів.
1. Розкладемо знаменник на множники:
2. Правильна дріб розкладається в суму найпростіших і кожному множнику виду соотв. сума з n найпростіших дробів виду:
з невизначеним коеф. A1 ... n
Кожному множнику виду відповід. сума з m найпростіших дробів виду:
з невизначеним коеф.B1 C1 ...
3. Невідомий коеф. знаходиться методом невизначених коеф. заснованому на: визначенні, що 2 многочлена тотожне збігаються, якщо у них рівні коефіцієнти при однакових ступенях.
4. Прирівнюючи коеф. при однакових ступенях в лівій і правій частинах, отримаємо систему лінійних рівнянь щодо невідомого рівняння.
Завдання, що приводить до поняття визначеного інтеграла.
Обчислення площі криволінійної трапеції:
Df. Криволінійна трапеція - фігура на площі, обмеженої лініями з рівняннями
1. Відрізок розіб'ємо на n частин:
Довжина кожного відрізка
2. Оскільки - неперервна на, то вона неперервна на кожному частковому відрізку, принади. ****
3. Впишемо в трапецію мн-к, що складається з пр-в з підставами, що збігаються з частковими відрізками і висотою mi
Підсумовуємо площі пр-в - отримуємо площа трапеції.
Змінюючи n. отримуємо числову послідовність площ, вписаних в багатокутник.