Метод зміни площин проекцій
Спосіб заміни площин проекцій полягає в тому, що одна з площин замінюється на нову. Ця площина вибирається перпендикулярно залишилася площині проекцій. Геометричний елемент при цьому не змінює свого положення в просторі. Нову площину розташовують так, щоб по відношенню до неї геометричний елемент займала приватна положення, зручне для вирішення завдання.
Зміну площин проекцій можна виробляти кілька разів.
Н
а малюнку 33 показано перетворення проекції точки А з системи HV в систему HV1, в якій замість фронтальної площини проекцій введена нова вертикальна площину V1, а горизонтальна площина проекцій залишилася незмінною. Отримуємо нову систему двох взаємно перпендикулярних площин H і V1. У новій системі горизонтальна проекція точки залишилася незмінною. Проекція a1 / точки А на нову площину V1 знаходиться від площини H на тій же відстані що й проекція a / точки А на площині V. Ця умова дозволяє легко будувати проекції точки на комплексному кресленні (рис. 34) на новій площині проекцій.
І
спользуя вищевикладене зробимо висновок: відстань від старої проекції точки до старої осі, дорівнює відстані від нової проекції точки до нової осі.
На малюнку 35 показано знаходження натуральної величини відрізка АВ і кутів нахилу його до горизонтальній і фронтальній площинах проекцій.
При заміні фронтальній площині проекцій V на нову V1 (вона вводиться перпендикулярної залишилася горизонтальній площині проекйі H і паралельно відрізку АВ) нова вісь x1 проводиться паралельно горизонтальній проекції відрізка (x1 ab). Використовуючи правило ортогонального проектування (проекційні лінії зв'язку завжди перпендикулярні осі проекцій) та умова отримання нової проекції точки при заміні площин проекцій, знаходимо нову проекцію прямої АВ -a1b1
Отримана проекція за величиною є натуральна величина відрізка АВ, тут же знаходиться кут нахилу відрізка до горизонтальної площини проекцій.
При заміні горизонтальній площині проекцій (нова площина вводиться паралельної відрізку в просторі і перпендикулярно залишилася фронтальній площині проекцій), отримуємо знову-таки натуральну величину відрізка і кут нахилу його до фронтальної площини проекцій.
При заміні послідовно горизонтальній і фронтальній площин проекції отримуємо в новій системі площин пряму АВ в вигляді точки, т. Е. В новій системі апрямая стає проецирующей.
багатогранники
Гранної поверхнею називається поверхня, утворена переміщенням прямолінійної твірної по ламаній направляючої. Гранні поверхні можна поділити на два види: пірамідальні і призматичні.
Частина простору, обмежена з усіх боків поверхнею, називається тілом.
Багатогранником називається тіло, обмежене плоскими багатокутниками. Розгляд багатогранників обмежимо розглядом призм і пірамід.
Призмою називається багатогранник, у якого однакові взаємно паралельні грані - підстави, а решта - бічні грані - паралелограми. Якщо ребра бокових граней перпендикулярні основі, то призму називають прямою. Для завдання призми досить задати одне її основу і бічне ребро.
Піраміда являє собою багатогранник, у якого одна грань - довільний багатокутник, приймати за основу, а інші грані (бічні) - трикутники із загальною вершиною, званої вершиною піраміди.
Перетин багатогранників площиною
У перетині гранних поверхонь площинами виходять багатокутники, вершини яких визначаються як точки перетину ребер гранних поверхонь з січною площиною.
Багатокутник перетину може бути знайдений двома шляхами:
вершини багатокутника знаходяться як точки перетину прямих (ребер) з січною площиною;
боку багатокутника знаходяться як лінії перетину площин (граней) багатогранника з січною площиною.
На малюнку 36 побудовано перетин піраміди фронтально проецирующей площиною.
Січна площина перпендикулярна фронтальної площини проекцій, отже, всі лінії, що лежать в цій площині, в тому числі і фігура перетину на фронтальній проекції, співпадуть з фронтальним слідом площині. Таким чином, фронтальна проекція фігури перерізу 1,2,3,4 визначиться при перетині фронтальних проекцій ребер піраміди зі слідом площини. Горизонтальні проекції цих точок знаходимо, проводячи проекційні лінії зв'язку на горизонтальну проекцію відповідних ребер.
Піраміда з вирізом
На малюнку 37 показано побудову піраміди з вирізом (як результат перетину піраміди декількома проектується площинами). В даному випадку виріз утворений трьома площинами: горизонтальної (площину горизонтального рівня) - Q, фронтально проецирующей - R і профільної - H. Горизонтальна площина Q перетинає бічну поверхню піраміди по п'ятикутник 1 11 12 4 13, сторони якого паралельні сторонам підстави піраміди, в межах вирізу має ламану лінію 2 1 6 5 4 3. Фронтально проектує площину R в межах вирізу перетинає бічну поверхню піраміди по ламаній лінії 3 8 9 10 2. Профільна площину H перетинає в межах вирізу бічну поверхню бенкету іди по ламаній лінії 6 7 5. Отримані точки з'єднують з урахуванням видимості в зазначеній послідовності (щоб дві точки належали одній січної площини і однієї грані піраміди).
тіла обертання
Розглянемо деякі з численних поверхонь обертання.
Поверхні, утворені обертанням прямої лінії. До таких належать циліндр і конус.
Циліндр обертання- поверхню, отримана обертанням прямої навколо паралельної їй осі і обмежена двома взаємно паралельними площинами.
Перетин циліндра площиною.
При перетині циліндра обертання площиною, паралельної осі обертання, в перерізі виходить пара прямих (утворюють). Якщо січна площина перпендикулярна до осі обертання, в перерізі виходить коло. У загальному випадку, коли січна площина нахилена до осі обертання циліндра, в перерізі виходить еліпс.
На малюнку 38 показаний приклад побудови проекцій лінії перетину циліндра фронтально проецирующей площиною Q, коли в перерізі виходить еліпс.
Фронтальна проекція фігури перерізу в цьому випадку збігається з фронтальним слідом площині, а горизонтальна - з горизонтальною проекцією поверхні циліндра - колом. Профільна проекція будується по двох наявних проекція - горизонтальній і фронтальній.
Конус обертання - поверхня, утворена обертанням прямої (утворює) навколо пересічної з нею віссю (напрямна).
Перетин конуса площиною
Залежно від положення січної площини в перетині конуса обертання можуть вийти різні лінії, що називаються лініями конічних перетинів.
Якщо січна площина проходить через вершину конуса, в його перерізі виходить пара прямих - утворюють (трикутник). В результаті перетину конуса площиною, перпендикулярної до осі конуса, виходить коло. Якщо січна площина нахилена до осі обертання конуса і не проходить через її вершину, в перерізі конуса можуть вийти еліпс (січна площина перетинає всі твірні конуса); парабола (січна площина паралельна одній з утворюючих конуса) або гіпербола (в цьому випадку січна площина паралельна двом утворюючим конуса) в залежності від кута нахилу січної площини (рис.39).
Відомо, що точка належить поверхні, якщо вона належить будь-якої лінії цієї поверхні. Для конуса графічно найбільш простими лініями є утворюють і окружності. Отже, якщо за умовами задачі потрібно знайти горизонтальні проекції точок, що належать поверхні конуса, то потрібно через точки провести одну з цих ліній.
На малюнку 40 дан приклад побудови проекцій лінії перетину конуса фронтально проецирующей площиною, коли в перерізі виходить еліпс.
Для побудови кривої лінії, що отримується при перетині конічної поверхні площиною, в загальному випадку знаходять точки перетину утворюють конічної поверхні з січною площиною. Для цього можна поділити підставу конуса на рівне число частин (зазвичай 12), провести горизонтальні проекції утворюють s1, s2. s12 і будують їх фронтальні проекції. На фронтальній проекції відзначають фронтальні проекції точок перетину побудованих утворюють з фронтальним слідом січної площини Q. Горизонтальні проекції будують в проекційної зв'язку на відповідних проекціях утворюють. Профільна проекція лінії перетину конуса площину Q побудована по фронтальній і горизонтальній проекціях точок в проекційної зв'язку.
Конус з вирізом.
На малюнку 41 показаний конус, в якому виконаний виріз, освічений трьома площинами приватного положення.
При перетині конуса горизонтально проецирующей площиною Р в перетині утворюється коло відповідного радіуса. Горизонтальні проекції точок 1,2,9,10,11,12 знаходяться на горизонтальній проекції цієї окружності. Точки 11,12 належать профільному нарису конуса. Лінія вирізу від цієї площини в межах вирізу з одного сторону конуса - 1,11,9 і з іншого - 2,12,10.
При перетині конуса фронтально проецирующей площину R в перетині утворюється парабола. Точки 3,4,7,8 знаходяться шляхом проведення через них утворюють конуса. Знайшовши на горизонтальній площині ці утворюють, проектуємо на них відповідні точки. Профільні проекції цих точок знаходимо за отриманими фронтальним і горизонтальним. Відповідно лінії перетину від цієї площини в межах вирізу отримуємо з одного боку конуса: 3,5,7,9 і з іншого - 4,6,8,10.
При перетині конуса площиною профільного рівня Q в утворюється гіпербола. Кінцеві точки даної лінії вже отримані, для більш точного побудови можна взяти ще пару проміжних (13,14). Лінія перетину від цієї площини в межах вирізу 3,1 з одного боку і 1,4 - з іншого.
Отримані шматки лінії перетину кулі з вирізом з'єднуємо з урахуванням видимості. Беручи конус за суцільне тіло, проводимо на проекціях невидимі лінії перегинів площин, що утворюють виріз.
Прикладом поверхонь, утворених обертанням окружності навколо нерухомої осі є сфера.
Сфера- поверхню, отримана обертанням окружності навколо її діаметра.
Перетин кулі площиною
Якщо куля перетинати площиною, то в перерізі завжди виходить коло. Ця окружність може спроектуватися:
прямо, якщо січна площина перпендикулярна до площини проекцій;
в коло з радіусом, рівним відстані від осі обертання кулі до нарису, якщо січна площина паралельна будь-якої площини проекцій;
в еліпс. якщо січна площина не паралельна жодної з площин проекцій.
Щоб побудувати проекції точки, що лежить на поверхні кулі, необхідно через неї провести січну площину, паралельну будь-якої площини проекцій, і побудувати окружність, на якій знаходиться ця точка
На малюнку 42 показано побудову проекцій лінії перетину кулі фронтально проецирующей площину.
Побудова починаємо з визначення характерних точок. Точки 1 і 2 знаходяться на фронтальному нарисі кулі (головному меридіані). Ці точки - кінці малої осі еліпса, а також найвища і найнижча точки. Їх горизонтальні і профільні проекції знаходяться на відповідних колах кулі, які на горизонтальній і профільної площинах збігаються з осями. Точки 3 і 4 знаходяться на профільному нарисі кулі (профільному меридіані) і служать для визначення видимості на профільній площині проекцій. Горизонтальні проекції цих точок знаходяться по фронтальним і профільним. Точки 5 і 6 перебувають на горизонтальному нарисі кулі (екваторі) і служать для визначення видимості на горизонтальній площині проекцій. Профільні проекції цих точок знаходимо по горизонтальних і фронтальним проекція. Точки 7 і 8 належать кінців великої осі еліпса. Вони будуються в такий спосіб. Спочатку знайдена фронтальна проекція точки 0 ', центру кола перетину, як середина відрізка 1'2', потім її горизонтальна проекція точка 0. Відрізки 01 і 0'2 'на фронтальній проекції рівні істиною величиною радіуса цього кола. На горизонтальній проекції діаметр окружності зображується без спотворення, тому відкладаємо відрізки 07 і 08. рівні 0'1 '. Для точного побудови лінії перетину необхідно знайти кілька додаткових точок. Для їх побудови використовуються допоміжні січні площини (наприклад, площини горизонтального рівня T і P, які в перетині дають окружність на горизонтальній площині. Отримані точки з'єднують плавною кривою з урахуванням їх видимості.
Куля з вирізом
На малюнку 43 показано побудову проекцій кулі з вирізом, утвореним трьома площинами приватного положення.
При перетині кулі горизонтально проецирующей площину Р в перетині утворюється коло відповідного радіуса. Горизонтальні проекції точок 1,2,15,16,13,14 знаходяться на горизонтальній проекції отриманої окружності. Профільні проекції цих точок знаходяться з уже побудованих фронтальних і горизонтальних. Шматочки лінії перетину від цієї площини з одного боку кулі: 1,15,13 і з іншого - 2,16,14.
При перетині кулі площину профільного рівня Q в перерізі виходить коло, яка на горизонтальну площину проектується в пряму, а на профільну - в коло відповідного радіуса. Точки 9,11,13, що знаходяться на цій окружності утворюють шматок лінії перетину в межах вирізу з одного боку і точки 10,12,14 - з іншого. Точки 11,12 знаходяться на горизонтальному нарисі кулі.
При перетині кулі фронтально проецирующей площину R в перерізі утворюються еліпси на горизонтально і профільних площинах проекцій. Точки 3,4 знаходяться на горизонтальному нарисі кулі. Тоді за наявними фронтальної і горизонтальної проекцій цих точок будуємо відповідно профільні. Шматки лінії перетину кулі в межах вирізу від відповідної площини з одного боку кулі: 1,3,5,7,9 та з іншого - 2,4,6,8,10.
З'єднуємо відповідні шматки лінії перетину з урахуванням видимості. Беручи куля за суцільне тіло, проводимо невидимі лінії перегинів площин вирізу.
література
Гордон В.О. Семенцов-Огієвський М.А. Курс нарисної геометрії: Учеб. допомога. -М.: Наука.1988.
Бубенніков А.В. Громов М.Я. Нарисна геометрія. М. Вища школа, 1973.
Фролов С.А. Нарисна геометрія: Учеб. для вузів. - М. Машинобудування, 1983.