2.Десятічная запис дробових чисел.
3.Дробі в музиці.
З історії виникнення звичайних дробів.
Необхідність в дрібних числах виникла у людини на вельми ранній стадії розвитку. Вже поділ здобичі, що складався з декількох убитих тварин, між учасниками полювання, коли число тварин виявлялося не кратним числу мисливців, могло привести первісної людини до поняття про дробовому числі.
Поряд з необхідністю рахувати предмети у людей з давніх часів з'явилася потреба вимірювати довжину, площу, обсяг, час і інші величини. Результат вимірювань не завжди вдається висловити натуральним числом, доводиться враховувати і частини вживається заходи. Історично дробу виникли в процесі вимірювання.
Потреба в більш точних вимірах привела до того, що початкові одиниці міри почали дробити на 2, 3 і більше частин. Більш дрібної одиниці заходи, яку отримували як наслідок роздроблення, давали індивідуальне назву, і величини вимірювали вже цієї меншої одиницею.
У зв'язку з цією необхідною роботою люди стали вживати вирази: половина, третина, два з половиною кроку. Звідки можна було зробити висновок, що дробові числа виникли як результат вимірювання величин. Народи пережили багато варіанти запису дробів, поки не прийшли до сучасної записи.
Дробу в Стародавньому Єгипті
У Стародавньому Єгипті архітектура досягла високого розвитку. Для того, щоб будувати грандіозні піраміди і храми, щоб обчислювати довжини, площі і обсяги фігур, необхідно було знати арифметику.
З розшифрованих відомостей на папірусах вчені дізналися, що єгиптяни 4 000 років тому мали десяткову (але не позиційну) систему числення, вміли вирішувати багато завдань, пов'язані з потребами будівництва, торгівлі і військової справи.
У Стародавньому Єгипті деякі дроби мали свої особливі назви - а саме, часто виникають на практиці 1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 3/4, 1/6 і 1/8. Крім того, єгиптяни вміли оперувати з так званими Аліквотні дроби (від лат. Aliquot - кілька) типу 1 / n - їх тому іноді також називають «єгипетськими»; ці дроби мали своє написання: витягнутий горизонтальний овальчік і під ним позначення знаменника. Що стосується інших дробів, то їх слід було розкладати в суму єгипетських. Стародавні єгиптяни вже знали, як поділити 2 предмета на трьох, для цього числа - 2/3 - у них був спеціальний значок. Це була єдина дріб в побуті єгипетських переписувачів, у якій в чисельнику не стояла одиниця - всі інші дроби неодмінно мали в чисельнику одиницю (так звані основні дроби). Якщо єгиптянинові потрібно було використовувати інші дроби, він представляв їх у вигляді суми основних дробів. Наприклад, замість 8/15 писали 1/3 + 1/5. Іноді це бувало зручно. Вміли єгиптяни також множити і ділити дроби. Але для множення доводилося множити частки на частки, а потім, можливо, знову використовувати таблицю. Ще складніше було з поділом. Важливу роботу по дослідженню єгипетських дробів провів математик XIII століття Фібоначчі.
Дробу в Древній Греції
Єгипетські дроби тривали використовуватися в стародавній Греції і згодом математиками всього світу до середньовіччя, незважаючи на наявні до них зауваження древніх математиків (наприклад, Клавдій Птолемей говорив про незручність використання єгипетських дробів в порівнянні з Вавилонської системою). Максим Плануд грецький монах, вчений, математик в 13 столітті ввів назву чисельника і знаменника
У Греції вживалися поряд з одиничними, «єгипетськими» дробами і загальні звичайні
дробу. Серед різних записів вживалася і така: зверху знаменник, під ним - чисельник дробу. Наприклад, означало три п'ятих. Ще за 2-3 століття до Евкліда і Архімеда греки вільно володіли арифметичними діями з дробами.
Сучасну систему запису дробів створили в Індії. Тільки там писали знаменник зверху, а чисельник знизу, і не писали дробової риси. Зате вся дріб містилася в прямокутну рамку. Іноді використовувалося і «триповерхова» вираз з трьома числами в одній рамці; в залежності від контексту це могло означати неправильну дріб (a + b / c) або розподіл цілого числа a на дріб b / c. Правила дій над дробами майже не відрізнялися від сучасних.
Записувати дроби як зараз стали араби. Середньовічні араби користувалися трьома системами запису дробів. По-перше, на індійський манер записуючи знаменник під чисельником; подрібнена риса з'явилася в кінці XII - початку XIII ст. По-друге, чиновники, землеміри, торговці користувалися обчисленням аліквотних дробів, схожим на єгипетське, при цьому застосовувалися дробу зі знаменниками, що не перевищують 10 (тільки для таких дробів арабська мова має спеціальні терміни); часто використовувалися наближені значення; арабські вчені працювали над удосконаленням цього обчислення. По-третє, арабські вчені успадкували вавілонської-грецьку шістдесяткова систему, в якій, як і греки, застосовували алфавітну запис, поширивши її і на цілі частини.
Дробу в Вавилоні
Вавилоняни користувалися всього двома цифрами. Вертикальна риска позначала одну одиницю, а кут з двох лежачих рисок - десять. Ці рисочки у них виходили у вигляді клинів, тому що вавилоняни писали гострою паличкою на сирих глиняних дощечках, які потім сушили і обпалювали.
У стародавньому Вавилоні вважали за краще постійний знаменник, рівний 60-ти. Шістдесяткова дробом, успадкованими від Вавилона, користувалися грецькі і арабські математики та астрономи. Дослідники по-різному пояснюють появу у вавилонян Шістдесяткова системи числення. Швидше за все тут враховувалося підставу 60, яке кратно 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 і 60, що значно полегшує всякі розрахунки.
Але було незручно працювати над натуральними числами, записаними по десяткової системі, і дробом, записаними по Шістдесяткова. А працювати з звичайними дробами було вже зовсім важко. Тому голландський математик Симон Стевін запропонував перейти до десятковим дробям.
Дробу в Стародавньому Китаї
У Стародавньому Китаї вже користувалися десятковою системою заходів, позначали дріб словами, використовуючи міри довжини чи: цуні, частки, порядкові, шерстинки, найтонші, павутинки. Дріб виду 2,135436 виглядала так: 2 чи, 1 цунь, 3 частки, 5 порядкових, 4 шерстинки, 3 найтонших, 6 павутинок. Так записувалися дробу протягом двох століть, а в V столітті китайський вчений Цзу-Чун-Чжи прийняв за вагон не чи, а чжан = 10 чи, тоді ця дріб виглядала так: 2 чжана, 1 чи, 3 цуня, 5 часткою, 4 порядкових, 3 шерстинки, 6 найтонших, 0 павутинок.
Дробу в Стародавньому Римі
Цікава система дробів була в Стародавньому Римі. Вона грунтувалася на поділі на 12 часткою одиниці ваги, яка називалася ас. Дванадцяту частку аса називали унцією. А шлях, час та інші величини порівнювали з наочною річчю - вагою. Наприклад, римлянин міг сказати, що він пройшов сім унцій шляху або прочитав п'ять унцій книги. При цьому, звичайно, мова йшла не про зважуванні шляху або книги. Малося на увазі, що пройдено 7/12 шляху або прочитано 5/12 книги. А для дробів, які утворюються скороченням дробів зі знаменником 12 або роздроблення дванадцятьох часткою на більш дрібні, були особливі назви.
Навіть зараз іноді кажуть: "Він скрупульозно вивчив це питання." Це означає, що питання вивчене до кінця, що не однієї найменшій неясності не залишилося. А відбувається дивне слово "скрупульозно" від римської назви 1/288 аса - "скрупулус". У ході були і такі назви: "семіс" - половина аса, "секстанс" - шоста його частка, "семіунція" - половина унції, тобто 1/24 аса і т.д. Всього застосовувалося 18 різних назв дробів. Щоб працювати з дробом, треба було пам'ятати для цих дробів таблицю додавання і таблицю множення. Тому римські купці твердо знали, що при додаванні Трієнс (1/3 аса) і секстанса виходить семіс, а при множенні біса (2/3 аса) на сескунцію (2/3 унції, т.е.1 / 8 аса) виходить унція . Для полегшення роботи складалися спеціальні таблиці, деякі з яких дійшли до нас.
У російській мові слово "дріб" з'явилося лише в VIII столітті. Відбувається слово "дріб" від слова "дробити, розбивати, ламати на частини". У інших народів назва дробу також пов'язано з дієсловами "ламати", "розбивати", "розбиває". У перших підручниках дробу називалися "ламані числа". У старих посібниках знаходили такі назви дробів на Русі:
- половина, полтина, - третину,
- полполчеть, - полполполтреть (мала третину),
- полполполчеть (мала четь), - пятіна,
Уже кілька тисячоліть людство користується дробовими числами, а ось записувати їх зручними десятковими знаками воно дійшло значно пізніше.
Чому ж люди перейшли від звичайних дробів до десятковим? Та тому, що дії з ними більш прості, особливо додавання і віднімання.
З'явилися десяткові дроби в працях арабських математиків в Середні століття і незалежно від них в стародавньому Китаї. Але і раніше, в стародавньому Вавилоні, використовували дроби такого ж типу, тільки шістдесяткова.
Пізніше вчений Гартман Бейер (1563-1625) випустив твір "Десяткова логістика", де писав: "... я звернув увагу на те, що техніки і ремісники, коли вимірюють яку-небудь довжину, то дуже рідко і лише у виняткових випадках виражають її в цілих числах одного найменування; звичайно їм доводиться або брати дрібні заходи, або звертатися до дробям. Точно так же астрономи вимірюють величини не тільки в градусах, а й в частках градуса, тобто хвилинах, секундах і т.п. Їх поділ на 60 частин не так зручно, як поділ на 10, на 100 частин і т.д. тому що в останньому випадку набагато легше складати, вичитати і взагалі проводити арифметичні дії; мені здається, що десяткові частки, якби ввести замість шестидесятеричной, стали в нагоді б не тільки для астрономії, але і для будь-якого роду обчислень ".
З початку XVII століття починається інтенсивне проникнення десяткових дробів в науку і практику. В Англії в якості знака, що відокремлює цілу частину від дробової, була введена точка. Кома, як і крапка, як розділового знаку була запропонована в 1617 році математиком Непером.
Розвиток промисловості і торгівлі, науки і техніки вимагали все більш громіздких обчислень, які за допомогою десяткових дробів легше було виконувати. Широке застосування десяткові дроби отримали в XIX столітті після введення тісно пов'язаної з ними метричної системи мір і ваг. Наприклад, в нашій країні в сільському господарстві і промисловості десяткові дроби і їх приватний вид - відсотки - застосовуються набагато частіше, ніж звичайні дроби.
Піфагорійці, багато займалися музикою і обожнювали число, вважали, що Земля має форму кулі і знаходиться в центрі Всесвіту: адже немає ніяких підстав, щоб вона була зміщена або витягнута в якусь одну сторону. Сонце ж, Місяць і 5 планет (Меркурій, Венера, Марс, Юпітер і Сатурн) рухаються навколо Землі. Відстані від них до нашої планети такі, що вони як би складають семиструнну арфу, і при їх русі виникає прекрасна музика - музика сфер. Зазвичай люди не чують її через суєти життя, і лише після смерті деякі з них зможуть насолодитися нею. А Піфагор чув її за життя.
Його учні - піфагорійці, багато займалися музикою і обожнювали число, досліджували, наскільки підвищується тон струни, якщо її притиснути посередині, або на чверть відстані одного з кінців, або на третину. Виявилося, що одночасне звучання двох струн приємно для слуху, якщо довжини їх відносяться як 1: 2, або 2: 3, або 3: 4, що відповідає музичним інтервалам в октаву, квінту і кварту. Гармонія виявилася тісно пов'язаної з дробом, що підтверджувало основну думку піфагорійців: «число править світом» ...
Так дробу зіграли визначальну роль в музиці. І зараз в загальноприйнятої нотою записи довга нота - ціла - ділиться на половинки (удвічі коротше), чверті, восьмі, шістнадцяті тридцять і другі.
Я вчуся в музичній школі, і я знаю, що 6/8 - це три чверті, і що в одній половині вісім шістнадцяті. Розучуючи нову п'єсу, я вголос відраховую кожну ноту в такті ( «раз і, два і ...») навіть і не підозрюючи, що вважає звичайні дроби. Таким чином, ритмічний малюнок будь-якого музичного твору, створеного європейською культурою, яким би складним він не був, визначається двійковими дробом.