Що таке екстремум Функції и Пожалуйста необхідна Умова екстремум?
Екстремумів Функції назівається максимум и мінімум Функції.
Необхідна Умова максимуму и мінімуму (екстремум) Функції Наступний: если функція f (x) Має екстремум в точці х = а, то в Цій точці похідна або дорівнює нулю, або Нескінченна, б або не існує.
Це Умова необхідна, но НЕ достатності. Похідна в точці х = а може звертатися в нуль, в нескінченність б або не існувалі без того, щоб функція мала екстремум в Цій точці.
Яке Достатньо Умова екстремум Функції (максимуму або мінімуму)?
Если в достатній блізькості від точки х = а похідна f? (X) Позитивна зліва від а й негативна праворуч від а, то в самій точці х = а функція f (x) Має максимум за умови, что функція f (x) Тут Безперервна.
Если в достатній блізькості від точки х = а похідна f? (X) негативно зліва від а й позитивна праворуч від а, то в самій точці х = а функція f (x) Має мінімум за умови, что функція f (x) Тут Безперервна.
Замість цього можна скористати іншим Достатньо умів екстремум Функції:
Нехай в точці х = а перша похідна f? (X) Звертається до нуль если при цьом одного похідна f. (А) негативна, то функція f (x) Має в точці x = a максимум, если позитивна - то мінімум.
Про випадок f. (А) = 0 можна Прочитати в довіднику з вищої математики М.Я. Вігодській.
Що таке критична точка Функції и як ее найти?
Це значення аргументу Функції, при якому функція має екстремум (тобто максимум або мінімум). Щоб его найти, нужно найти похідну Функції f? (X) І, прірівнявші ее до нуля, вірішіті Рівняння f? (X) = 0. Корені цього Рівняння, а такоже ті точки, в якіх НЕ існує похідна даної Функції, є критичними точками, т. Е значення аргументу, при якіх может буті екстремум. Їх можна легко візначіті, поглянувші на графік похідною. Нас цікавлять ті значення аргументу, при якіх графік Функції перетінає вісь абсцис (вісь Ох) и ті, при якіх графік терпить розріві.
Для прикладу Знайдемо екстремум параболи.
Функція y (x) = 3 x 2 + 2 x - 50.
Похідна Функції: y? (X) = 6 x + 2
Вірішуємо Рівняння: y? (X) = 0
6х + 2 = 0, 6х = -2, х = -2 / 6 = -1/3
У даного випадка критична точка - це х0 = -1 / 3. Саме при цьом значенні аргументу функція має екстремум. Щоб его найти. підставляємо у виразі для Функції вместо «х» Найдьонов число:
y 0 = 3 * (- 1/3) 2 + 2 * (- 1/3) - 50 = 3 * 1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.
Як візначіті максимум и мінімум Функції, тобто ее найбільше и найменша значення?
Если знак похідної при переході через критично точку х0 змінюється з «плюса» на «мінус», то х0 є точка максимуму - если ж знак похідної змінюється з мінуса на плюс, то х0 є точка мінімуму - если символ не змінюється, то в точці х0 ні максимуму, ні мінімуму немає.
Для Розглянуто прикладу:
Беремо Довільне значення аргументу зліва від крітічної точки: х = -1
При х = -1 значення похідної буде у. (-1) = 6 * (- 1) + 2 = -6 + 2 = -4 (тобто знак - «мінус»).
Тепер беремо Довільне значення аргументу праворуч від крітічної точки: х = 1
При х = 1 значення похідної буде у (1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (тобто знак - «плюс»).
Як бачим, похідна при переході через критично точку поміняла знак з мінуса на плюс. Значить, при критичному значенні х0 ми маємо точку мінімуму.
Найбільше и найменша значення Функції на інтервалі (На відрізку) знаходять за такою ж процедурою, только з урахуванням того, что, можливо, чи не всі Критичні точки лежатімуть Всередині зазначеним інтервалу. Ті Критичні точки, Які знаходяться за межею інтервалу, нужно віключіті з РОЗГЛЯДУ. Если Всередині інтервалу находится только одна критична точка - в ній буде або максимум, або мінімум. У цьом випадка для визначення найбільшого и найменшого значень Функції враховуємо такоже значення Функції на кінцях інтервалу.
Например, Знайдемо найбільше и найменша значення Функції
y (x) = 3 sin (x) - 0,5 х
Отже, похідна Функції;
y? (X) = 3 cos (x) - 0,5
Вірішуємо Рівняння 3 cos (x) - 0,5 = 0
cos (x) = 0,5 / 3 = 0,16667
х = ± arccos (0,16667) + 2pi-k.
Знаходімо Критичні точки на інтервалі [-9- 9]:
х = arccos (0,16667) - 2 pi; * 2 = -11,163 (не входить в Інтервал)
х =; arccos (0,16667) - 2 pi; * 1 = -7,687
х = arccos (0,16667) - 2 pi; * 1 = -4,88
х =; arccos (0,16667) + 2 pi; * 0 = -1,403
х = arccos (0,16667) + 2 pi; * 0 = 1,403
х =; arccos (0,16667) + 2 pi; * 1 = 4,88
х = arccos (0,16667) + 2 pi; * 1 = 7,687
х =; arccos (0,16667) + 2 pi; * 2 = 11,163 (не входить в Інтервал)
Знаходімо значення Функції при критичних значеннях аргументу:
y (-7,687) = 3cos (-7,687) - 0,5 = 0,885
y (-4,88) = 3cos (-4,88) - 0,5 = 5,398
y (-1,403) = 3cos (-1,403) - 0,5 = -2,256
y (1,403) = 3cos (1,403) - 0,5 = 2,256
y (4,88) = 3cos (4,88) - 0,5 = -5,398
y (7,687) = 3cos (7,687) - 0,5 = -0,885
Видно, что на інтервалі [-9- 9] найбільше значення функція має при x = -4,88:
а найменша - при х = 4,88:
На інтервалі [-6- -3] ми маємо только одну критично точку: х = -4,88. Значення Функції при х = -4,88 одне у = 5,398.
Знаходімо значення Функції на кінцях інтервалу:
y (-6) = 3 cos (-6) - 0,5 = 3,838
y (-3) = 3 cos (-3) - 0,5 = 1,077
На інтервалі [-6- -3] маємо найбільше значення Функції
у = 5,398 при x = -4,88
у = 1,077 при x = -3
Як найти точки перегину графіка Функції и візначіті Сторони опуклості и угнутості?
Щоб найти всі точки перегину Лінії y = f (x), Треба найти друга похідну, прірівняті ее до нуля (вірішіті Рівняння) и віпробуваті всі ті значення х, для якіх одного похідна дорівнює нулю, Нескінченна б або не існує. Если при переході через Одне з ціх значень одного похідна змінює знак, то графік Функції має в Цій точці перегину. Если ж не змінює, то перегину немає.
Коріння Рівняння f. (X) = 0, а такоже Можливі точки розріву Функції та Другої похідної розбівають область визначення Функції на ряд інтервалів. Опуклість на кожному їх інтервалів візначається знаком Другої похідної. Если одного похідна в точці на досліджуваному інтервалі позитивна, то лінія y = f (x) Зверни тут увігнутістю догори, а если негативна - то донизу.
Як найти екстремум Функції двох змінніх?
Щоб найти екстремум Функції f (x. Y), Діференційованою в області ее завдання, нужно:
1) найти Критичні точки, а для цього - вірішіті систему рівнянь
2) для кожної крітічної точки Р0 (a; b) Дослідіті, чи залішається незміннім знак різниці
f (x. y); f (a. b)
для всіх точок (х-у), Досить близьким до Р0. Если різніця зберігає позитивний знак, то в точці Р0 маємо мінімум, если негативний - то максимум. Если різніця НЕ зберігаються знака, то в точці Р0 екстремум немає.
Аналогічно визначаються екстремум Функції при більшому чіслі аргументів.
- Вігодській М.Я. Довідник з вищої математики
- Черненко В.Д. Вища математика в прикладах и задачах. У 3-х томах. Том 1.