Іменник "півдня" пишеться разом. Тобто в питанні продемонстрований невірний варіант написання.
Утруднення викликається наявністю в цьому слові префіксоїд "пів", який викликає враження якоїсь своєї напівсамостійно. З цим префіксоїд дійсно необхідно бути завжди напоготові, тому що він пишеться в різних словах по-різному, призводить до досить несподіваним граматичним узгодженням, надає словами елемент разговорности, робить їх незмінними, одним словом - додає незвичайності.
Але в нашому випадку, коли коріння не починається з голосної або з приголосної "л", "пів-" пишеться разом з іншим словом.
Слово "півдня" правильно писати разом. У російській мові є правило про написання слів з "підлогу". Згідно з цим правилом якщо друге слово починається з приголосної або з букви "л", то слово треба писати через дефіс. Наприклад: пів-апельсина, пів на одинадцяту, пів-кавуна, пів-ананаса, пів-аркуша, пів-сходи, пів-кошика. Через дефіс пишуться слова, якщо друге слово є ім'ям власним, наприклад: пів-Європи, пів-Москви, пів-Уралу. У всіх інших випадках все слова з "підлогу" пишуться разом. Якщо між словом "підлогу" стоїть ще одне уточнююче слово, наприклад підлогу робочого дня, підлогу вихідного дня, то все слова правильно писати окремо.
Пишеться разом. Згідно з правилами: пів (половина) пишеться з дефісом, якщо подальше за ним слово починається з голосної (наприклад: пів-яблука); з приголосної л (наприклад: пів-аркуша); якщо друге слово-ім'я власне (наприклад: пів-Москви). Пишеться окремо, коли далі йде словосполучення (наприклад: пол наступного дня). У всіх інших випадках пишеться разом, виняток становить слово пляшка.