Карташов в, фізичні завдання з астрономічним змістом, журнал «фізика» № 8 за 2018 рік

В. Ф. Карташов,
. ЧДПУ, Челябінськ

Наведемо кілька прикладів таких завдань з різних етапів астрономічних олімпіад. Вони можуть пропонуватися в класі після вивчення нового матеріалу із зазначеної теми, задаватися додому з подальшим обговоренням на уроці під час закріплення нового матеріалу, а також включатися в комплект олімпіадних завдань районного та міського рівнів.

1 (Механіка). За який мінімальний час можна облетіти Марс?

Рішення. Для цього треба рухатися з першою космічною швидкістю по орбіті мінімальної висоти (з радіусом, практично дорівнює радіусу Марса): υ1 2 = GM / R. де G - гравітаційна стала, M і R - маса і радіус планети відповідно. Підставляючи чисельні значення, отримаємо υ1 = 3,54 км / с. Шлях, який дорівнює довжині кола радіусом R. супутник пролетить за час t = 2πR / υ1 = 6,28 · 3395 / 3,54 ≈ 1 год 40 хв.

2 (Механіка). Під час подорожі по Марсу космонавт зронив в невелику западину компас. Щоб дістати його, він кинув туди камінь і визначив, що до дна компас летів 3 с. У його розпорядженні був міцний шнур довжиною 5 м. Чи вистачить довжини шнура, щоб опуститися на дно западини? Згори на них піде 0,5 м. Маса Марса 6,39 х 10 23 кг.

Рішення. Шлях s. прохідний тілом при вільному падінні, дорівнює 0,5gt 2. де t - час падіння, а g - прискорення вільного падіння. На Марсі g = GM / R 2 = 3,7 м / c 2. тому s = 0,5 · 3,7 · 3 2 м = 16,6 м. Шнура не вистачить.

3 (Механіка). З якої відстані можна виявити наявність у Сонця планетної системи, якщо апаратура у уявної цивілізації здатна зафіксувати відхилення в положенні Сонця на небі з точністю до 0,01 ". Вважати, що основними тілами, возмущающими рух Сонця, є Юпітер і Сатурн. Відстані від планет до Сонця і їх маси дорівнюють відповідно 5,2 і 9,5 а.е .; 1,9 × 10 27 і 5,7 × 10 26 кг.

Рішення. Ззовні про існування планет навколо Сонця можна судити по зміні положення світила серед зірок. Ці відхилення максимальні, якщо планети знаходяться по одну сторону від Сонця. Положення центру мас системи знайдемо за формулою

в якій індекси i = 1, 2, 3 відносяться відповідно до Сонця, Юпітера і Сатурну, а хi - відстань від тіла до центру Сонця. Можна прийняти, що х1 = 0, тому ХЦ = 1,15 · 10 6 км. Відстань r. з якого цей відрізок видно під кутом в 0,01 ", знаходиться з пропорції

(360 · 3600): 0,01 "= 6,28 r. х,

тобто шукане відстань дорівнює 0,77 пк. Нагадаємо, що найближча до нас зірка Проксима Центавра знаходиться на відстані від нас 1,3 пк. З неї можна виявити зміщення Сонця.

4 (Термодинаміка). Визначте, на скільки підвищиться температура Землі, якщо на неї впаде тіло, маса якого дорівнює марсіанської (0,64 х 10 24 кг). Питому теплоємність речовини Землі і Марса прийняти рівною 4,2 · 10 3 Дж / (кг · К).

Рішення. Будемо вважати, що тіло падає на Землю з другою космічною швидкістю, зіткнення неупругое, тепловіддачею в навколишній простір нехтуємо. Нехай mз і mт - маса Землі і тіла відповідно, υт - швидкість падіння тіла на Землю, υ - загальна швидкість планет після зіткнення, з - теплоємність речовини, ΔT - зміна температури.

Згідно із законом збереження енергії:

Звідси обчислюємо енергію, що пішли на нагрів Землі: і знаходимо, на скільки нагріється Земля: ΔT = 1300 До

5. Як зміниться температура Землі, якщо Сонце все покриється плямами? (Випромінювання і хвилі.)

Рішення. Температура сонячних плям дорівнює 4700 К, а температура фотосфери Сонця 6000 К, значить, світність Сонця зміниться в (6000. 4700) 4 = 2,66 рази (виходимо з визначення світності як кількості енергії, яке випромінює тіло в космічний простір за секунду). Значить, на одиницю поверхні Землі буде надходити енергії від Сонця в 2,66 разів менше. Зараз середня температура Землі 288 К, отже, знизившись в раз, вона стане рівною 288 К. 1,28 = 225 К, або -48 ° С.

6 (Квантова механіка). В осетинському оповіді про нартах йдеться:

Здійснилося раптом нечуване диво:
Зійшли два сонця в небі смарагдовому ...
І тріснула тоді земля від спека,
Охоплена сонячним пожежею.

Як зміниться температура Землі, якщо на небі будуть світити два Сонця?

Рішення. Нехай L - світність Сонця, r - відстань до Землі від Сонця. Тоді на одиничну площадку, розташовану перпендикулярно до сонячних променів на Землі, падає енергія Цей майданчик поглинає сонячне випромінювання і перевипромінює його, нагріваючись до температури, яка визначається співвідношенням E = σT 4. Оскільки світність Сонця, за визначенням, є кількість енергії, яке воно випромінює в космічний простір за 1 с, то L = 4πR0 2 σ T0 4. звідки Величина А - альбедо, яке вказує, яка частина сонячної енергії відбилася від поверхні планети (1-А - це частка поглиненої енергії). Але якщо на небі буде світити n Сонць, то кількість енергії, що доходить від них на Землю, збільшиться теж в n раз, і температура стане рівною а відношення температур T / Tn зміниться в раз.

Якщо температура Землі в соняшниковій точці дорівнює 295 К, то при двох сонцях вона стане 351 К, тобто майже на 60 К вище.

Примітка. Можливо більш просте рішення, без виведення загальної формули. Для цього запишемо вирази для енергій випромінювання одиничних майданчиків: E = σT1 4 і 2E = σT2 4. - і отримаємо

7 (Механіка). Під час польоту до майбутнього місця проживання представників земної цивілізації космонавти здійснили вимушену посадку на планеті. Після ремонту вони звернулися до комп'ютера і дізналися, що пального у них вистачить, щоб розвинути швидкість 4 км / с. Чи зможуть вони покинути планету, якщо її маса і розміри в 10 разів менше земних? (Рух по колу.)

Рішення. Слід визначити другу космічну швидкість для цієї планети за формулою і порівняти її зі швидкістю υ = 4 км / c. Якщо υ> υII. то подальшу подорож можливо. Підставляючи числові дані, отримаємо, υII = 11,2 км / с, так що космічним мандрівникам надовго доведеться затриматися на планеті.

8 (Механіка). На екваторі Місяця встановили вежу висотою 300 м для виготовлення кульок ідеальної сферичної форми. Крапельки рідкого металу будуть витікати з сопла апарату і падати прямовисно, застигаючи. Приймальний пристрій дробинок інженери влаштували точно під соплом. Коли все було готове, то, на свій подив, вони виявили, що дробинки туди не потрапляють. Як слід змінити положення приймача готової продукції? Прискорення вільного падіння на Місяці 1,62 м / с.

Рішення. Через обертання Місяця падаючі тіла зміщуються на схід (в сторону її обертання). Зсув точки А за 1 з падіння знайдемо як різницю швидкостей руху точок А і С. тобто де R і P - відповідно радіус Місяця і період її обертання.

Залишилося знайти час падіння дробинки з висоти 300 м на Місяці (за формулою s = gt 2/2). t = 19 с.

Значить, приймач дробинок треба перенести на 1,9 см / c · 19 c = 36,5 см.

9 (Механіка). Зірка Плейони з розсіяного скупчення Плеяди обертається в 100 разів швидше Сонця. Температура зірки близько 13 000 К, а світність майже в 200 разів більше сонячної. Чи не втрачає вона речовина з області екватора?

Рішення. Визначимо розміри зірки, використовуючи дані про світності і температури. Виходимо з визначення світності як загальної кількості енергії, яке зірка випромінює в космічний простір за 1 с: L = 4πR 2 σ T 4. де 4πR 2 - площа поверхні зірки, σ T 4 - кількість енергії з одиниці поверхні (закон Стефана-Больцмана) : 200RC 2 = R 2 (13 000/5780) 4. де 5780 К - температура Сонця. Отcюда R = 2,8RC.

Швидкість обертання Сонця на екваторі - близько 2 км / с (радіус 690 000 км, υ = 2πR. 25 діб), а швидкість обертання Плейони 400 км / с. Масу зірки знайдемо за співвідношенням маса-світність lgL = 3,9 lgM. підставивши числові дані: lg200 = 2,3 = 3,9 lgM ⇒ М = 3,9MC.

Запишемо відношення сили тяжіння до відцентрової сили для тіла на екваторі зірки:

Якщо це відношення більше 1, то витікання речовини немає, якщо менше 1, то зірка втрачає речовину. Підставляючи числові дані, отримуємо, що відношення дорівнює 2, значить, сила тяжіння більше відцентрової, і витікання речовини немає.

10 (Квантова механіка). Інопланетяни сіли на одну з планет Сонячної системи. Через деякий час вони виявили, що температура планети в тій точці, де Сонце знаходиться в зеніті, змінюється від 560 до 690 К. Визначте ексцентриситет орбіти. Яка планета має таку орбіту?

Рішення. Температура планети визначається кількістю енергії, яке падає на одиницю поверхні, а це кількість обернено пропорційно квадрату відстані до Сонця. Більш висока температура повинна відповідати і ближчого відстані планети від Сонця Q = АСР (1 - е), де е - ексцентриситет. Найнижча температура відповідає максимальному відстані q = АСР (1 + е).

Використовуючи закон Стефана-Больцмана, можна записати:

Такий ексцентриситет у орбіти Меркурія, та й високі температури характерні теж для нього.

11 (Механіка). Експедиція по пошуках придатної для життя землян планети натрапила на об'єкт розміром 1000 км і висадилася на ньому. На планеті виявилася киснева атмосфера. Радості не було меж, оскільки і температура виявилася прийнятною - 300 К. Чи не засмутилися вони через деякий час, дізнавшись, що маятник довжиною 1 м здійснює одне коливання за 5 с?

Рішення. Членам експедиції слід переконатися в тому, що атмосфера планети стабільна, тобто що вона не випарується через невеликий проміжок часу. Для її тривалого існування необхідно, щоб середня теплова швидкість руху молекул була в кілька разів менше за другу космічну швидкість для планети (υт <0,2υII ). Зная время колебания маятника, определяем ускорение свободного падения на планете g = 1,58 м/с 2. затем находим массу планеты: g = GM/R 2 ⇒ m = 2,37·10 21 кг, – а затем и вторую космическую скорость: υII = 0,56 км/с.

Середня теплова швидкість дорівнює 0,68 км / с, що більше υII. отже, атмосфера планети не стабільна.

12 (Квантова механіка). Якою стане температура фотосфери зірки після злиття двох зірок, таких як Сонце? Прийняти, що радіус такого об'єкта в 1,7 рази більше сонячного.

Рішення. Використовуємо залежність світності зірки головної послідовності від її маси L = kM 4. яку застосовуємо для «старого» і «нового» Сонця:

За визначенням світності зірки,

Підставивши числові дані, отримаємо Тн = 8831 К.

13 (Механіка). На яку відстань треба піти від поверхні Землі в бік Місяця, щоб сила тяжіння до Землі стала такою ж, як сила тяжіння до Місяця? Відомо, що маса Місяця в 81 разів менше маси Землі, а радіус становить 0,27 земної.

Рішення. Запишемо сили, з якою Земля і Місяць притягують одне і те ж тіло масою m:

Тут x і r - x - відстані від Землі і Місяця до цієї точки відповідно; r - відстань між Місяцем і Землею.

Підставляючи числові дані, знаходимо x = 34 5000 км, а h = x - RЗ = 339 200 км.

14 (Квантова механіка). В скупченні міститься по 10 зірок головної послідовності з температурою 6000 і 10 000 К. Об'єктом якої температури буде спостерігатися скупчення як єдине ціле, якщо з відстані 1000 пк воно видно під кутом 1 "? Скористатися емпіричної залежністю між температурою і радіусом зірок: R = 2,13 × 10 4 м / К · Т 1,25 К.

Рішення. Розміри об'єкта дорівнює 1000 а.о. тому відношення його розміру АВ до відстані r є tg1 "= 1. 206265.

Використовуємо визначення світності як твори площі поверхні зірки 4πR 2 на кількість енергії, випромінюваної одиницею поверхні з температурою Т. рівне, згідно із законом Стефана-Больцмана, σТ 4.

Оскільки енергія від всіх об'єктів складається і сприймається як випромінювання від одного об'єкта розміром АВ. то має місце рівність:

10 · 4π · σ · (2,13 · 10 4) 2 · [6000 2,5 · 6000 4 + 10 000 2,5 · 10 000 4] = 4π (500 а.о. · 1,5 · 10 11 ) 2 σ Т 4 ⇒ Т ≈ 9500 К.