І на закінчення цього короткого розгляду логічних парадоксів - кілька завдань, роздуми над якими буде корисно для читача. Потрібно вирішити, чи дійсно приводяться затвердження та міркування є логічними пара-
Докса або тільки здаються ними. Для цього слід, очевидно, якось перебудувати вихідний матеріал і спробувати вивести з нього протиріччя: і твердження і заперечення одного і того ж про одне й те ж. Якщо буде виявлено парадокс, можна подумати над тим, з чим пов'язана його виникнення і як його усунути. Можна навіть спробувати придумати свій власний парадокс такого ж типу, тобто будується за тією ж схемою, але на основі інших понять.
1. Той, хто говорить: «Я нічого не знаю», висловлює начебто парадоксальне, внутрішньо суперечливе твердження. Він заявляє, по суті: «Я знаю, що я нічого не знаю». Але знання того, що ніякого знання немає, є все-таки знання. Значить, говорить, з одного боку, запевняє, що ніякого знання у нього немає, а з іншого - самим затвердженням цього повідомляє, що деяке знання у нього все-таки є. У чому тут справа?
Розмірковуючи над цим ускладненням, можна згадати, що Сократ висловлював подібну думку більш обережно. Він говорив: «Я знаю тільки те, що нічого не знаю». Зате інший древній грек, Метродор, з повною переконаністю стверджував: «Нічого не знаю і не знаю навіть того, що я нічого не знаю». Чи немає в цьому твердженні парадоксу?
2. Історичні події унікальні. Історія, якщо вона і повторюється, то, за відомим висловом, перший раз як трагедія, а другий - як фарс. З неповторності історичних подій іноді виводиться ідея, що історія нічому не вчить. «Бути може, найбільший урок історії, - пише О. Хакслі, - дійсно полягає в тому, що ніхто ніколи і нічому не навчився з історії».
Навряд чи ця ідея правильна. Минуле як раз і досліджується головним чином для того, щоб краще розуміти сьогодення і майбутнє. Інша справа, що «уроки» минулого, як правило, неоднозначні.
Чи не є переконання, ніби історія нічому не вчить, внутрішньо суперечливим? Адже саме воно випливає з історії як один з її уроків. Чи не краще прихильникам цієї ідеї сформулювати її так, щоб вона не поширювалася на себе: «Історія вчить єдиний-
ственному - з неї нічого не можна навчитися », або« Історія нічому не вчить, крім цього її уроку »?
3. «Доведено, що доказів не існує». Це, як здається, внутрішньо суперечливе висловлювання: воно є доказом або передбачає вже проведене доказ ( «доведено, що.») І одночасно стверджує, що жодного доказу немає.
Відомий стародавній скептик Секст Емпірика пропонував такий вихід: замість наведеного висловлювання прийняти висловлювання «Доведено, що жодного доказу, крім цього, не існує» (або: «Доведено, що нічого доведеного, крім цього, немає»). Але чи не є цей вихід ілюзорним? Адже затверджується, по суті справи, що є тільки одне-єдине доказ - доказ неіснування будь-яких доказів ( «Існує одне-єдине доказ: доказ того, що ніяких інших доказів немає»). Чим тоді є сама операція докази, якщо її вдалося провести, судячи з даного твердженням, тільки один раз? У всякому разі, думка самого Секста про цінності доказів було не дуже високим. Він писав, зокрема: «Так само, як праві ті, хто обходиться без докази, мають рацію і ті, хто, будучи схильним сумніватися, голослівно висуває протилежну думку».
4. «Жодне висловлювання не є негативним», або простіше: «Ні негативних висловлювань». Однак саме цей вислів є висловлювання і є якраз негативним. Явний, як ніби, парадокс. За допомогою якої переформулювання цього твердження можна було б уникнути парадоксу?
Середньовічний філософ і логік Ж.Бурідан відомий широкому читачеві міркуванням про осла, який, стоячи між двома однаковими оберемками сіна, обов'язково помре з голоду. Осел, як і всяка тварина, прагне вибрати з двох речей кращу. Дві оберемки абсолютно не відрізняються один від одного, і тому він не може віддати перевагу жодну з них. Однак цього «буриданова осла» в творах самого Буридана немає. У логіці Буридан добре відомий, і зокрема
своєю книгою про софизмах. У ній наводиться такий умовивід, що відноситься до нашої теми: жодне висловлювання не є негативним; отже, існує негативне висловлювання. Чи є цей висновок обґрунтованим?
5. Добре відомо опис М. В. Гоголем гри Чичикова з Ноздрьовим в шашки. Їх партія так і не закінчилася, Чичиков помітив, що Ноздрьов шахраює, і відмовився грати, побоюючись програшу. Нещодавно один фахівець з шашок відновив з реплік грали хід цієї партії і показав, що позиція Чичикова була ще безнадійної.
Припустимо, що Чичиков все-таки продовжив гру і врешті-решт виграв партію, незважаючи на крутійство партнера. За домовленістю програв Ноздрьов повинен був віддати Чичикову п'ятдесят рублів і «якогось цуценя середньої руки або золоту печатку до годинника». Але Ноздрьов швидше за все відмовлявся б платити, наголошуючи на тому, що він сам всю гру шахраював, а гра не за правилами - це як би і не гра. Чичиков міг би заперечити, що розмова про шахрайство тут не до місця: шахраював сам програв, значить, він тим більше повинен платити.
Справді, мав би платити Ноздрьов в подібній ситуації чи ні? З одного боку - так, оскільки він програв. Але з іншого - немає, так як гра не за правилами - це зовсім і не гра; ні виграв, ні того, хто програв в такий «грі» не може бути. Якби шахраював сам Чичиков, Ноздрьов, звичайно, він не мусив би платити. Але, проте, шахраював якраз той, хто програв Ноздрьов.
Тут відчувається щось парадоксальне: «з одного боку. ", "з іншого боку. », І до того ж з обох сторін в рівній мірі переконливо, хоча ці сторони несумісні.
Повинен все-таки Ноздрьов платити чи ні?
6. «Будь-яке правило має винятки». Але ж це твердження саме є правилом. Як і всі інші правила, вона повинна мати винятки. Таким винятком буде, очевидно, правило «Є правила, які не мають винятків». Чи немає у всьому цей парадоксу? Який з попередніх прикладів нагадують ці два
правила? Чи припустимо міркувати так: всяке правило має винятки; значить, існують правила без винятків?
7. «Будь-яке узагальнення помилково». Ясно, що це твердження підсумовує досвід розумової операції узагальнення і саме є узагальненням. Як і всі інші узагальнення, воно повинно бути помилковим. А значить, повинні бути вірні узагальнення. Однак чи правильно міркувати так: всяке узагальнення невірно, отже, є вірні узагальнення?
8. Якийсь письменник написав «Епітафію всіх жанрах», покликану довести, що літературні жанри, розмежування яких викликало стільки суперечок, померли і можна про них не згадувати.
Але епітафія, між тим, теж жанр в деякому роді, жанр надгробних написів, що склався ще в античні часи і який увійшов в літературу як різновид епіграми:
Тут я лежу: Джиммі Хогг.
Авось гріхи простить мені Бог,
Як я б зробив, якби я був Бог,
А він - покійний Джиммі Хогг.
Так що епітафія всіх без винятку жанрами грішить як ніби непослідовністю. Як краще її переформулювати?
9. «Ніколи не говори« ніколи ». Забороняючи вживання слова «ніколи», доводиться двічі вживати це слово!
Аналогічно йде, як здається, справа з радою: «Пора б тим, хто говорить« пора », сказати що-небудь, крім« пора ».
Чи немає в подібних радах своєрідною непослідовності і чи можна її уникнути?
Не вірте в чаклунську владу вогню:
Горить, поки кладуть в нього дрова.
Не вірте в золотогривого коня
Ні за які солодкі пряники!
Не вірте в те, що зіркові стада
Несуться в нескінченній круговерті.
Але що ж вам залишиться тоді?
Не вірте в те, що я сказав.
Але чи реально таке загальне невіра? Судячи з усього, воно суперечливо і, отже, логічно неможливо.
11. Припустимо, що, всупереч загальному переконанню, нецікаві люди все-таки є. Збираючи насіння подумки разом і виберемо з них найменшого по зростанню, або найбільшого за вагою, або якогось іншого «самого. ». На цю людину цікаво було б подивитися, так що ми даремно включили його в число нецікавих. Виключивши його, ми знову знайдемо серед решти «самого. »В тому ж самому сенсі і т.д. І все це до тих пір, поки не залишиться тільки одна людина, яку ні з ким буде вже порівнювати. Але, виявляється, цим він як раз і цікавий! У підсумку ми приходимо до висновку, що нецікавих людей немає. А почалося міркування з того, що такі люди існують.
Можна, зокрема, спробувати знайти серед нецікавих людей самого нецікавого з усіх нецікавих. Цим він буде, без сумніву, цікавий, і його доведеться виключити з нецікавих людей. Серед решти знову-таки знайдеться найменш цікавий і т.д.
У цих міркуваннях безумовно є присмак парадоксальності. Чи допущено тут якась помилка і якщо так, то яка?
12. Припустимо, що вам дали чистий аркуш паперу і доручили описати цей лист на ньому ж. Ви пишете: це лист прямокутної форми, білий, таких-то розмірів, виготовлений з пресованих волокон деревини і т.д.
Опис начебто закінчено. Але воно явно неповне! У процесі опису об'єкт змінився: на ньому з'явився текст. Тому до опису потрібно ще до-
бавить: а окрім того, на цьому аркуші паперу написано: це лист прямокутної форми, білий. і т.д. до нескінченності.
Здається, що тут парадокс, чи не так?
Добре відомий дитячий віршик:
У попа була собака,
Вона з'їла шматок м'яса,
А на плиті написав:
«У попа була собака. »
Чи зміг цей любив свою собаку поп коли-небудь закінчити надгробний напис? Чи не нагадує складання цього напису повний опис аркуша паперу на ньому самому?
14. Назвемо гру нормальної, якщо вона завершується в кінцеве число ходів. Прикладами нормальних ігор можуть служити шахи, шашки, доміно: ці ігри завжди завершуються або перемогою однієї зі сторін, або нічиєї. Гра, яка не є нормальною, триває нескінченно, не наводячи ні до якого результату. Введемо також поняття сверхігри: першим ходом такої гри є встановлення того, яка саме гра повинна гратися. Якщо, наприклад, ви і я маємо намір грати в сверхігру і мені належить перший хід, я можу сказати: «Давайте грати в шахи». Тоді ви у відповідь робите перший хід шахової гри, припустимо, е2 - е4, і ми продовжуємо партію до її завершення (зокрема, в зв'язку з закінченням часу, відведеного турнірним регламентом). В якості свого першого ходу я можу запропонувати зіграти в хрестики-нулики і т.п. Але гра, яка мною вибирається, повинна бути нормальною; не можна вибирати гру, яка не є нормальною.
Виникає проблема: є сама сверхігра нормальної чи ні? Припустимо, що це - нормальна гра. Так як першим її ходом можна вибрати будь-яку з нормальних ігор, я можу сказати: «Давайте грати в сверхігру». Після цього сверхігра почалася, і наступний хід в ній ваш. Ви маєте право сказати: «Давайте грати в сверхігру». Я можу повторити: «Давайте грати в сверхігру» і таким чином процес може тривати нескінченно. Отже, сверхігра не відноситься до нормальних ігор. Але в силу того, що сверхігра не є нормальною, своїм першим ходом в сверхігре я не можу запропонувати сверхігру; я повинен вибрати звичайну гру. Але вибір нормальної гри, що має кінець, суперечить тому доведеного факту, що сверхігра не належить до нормальних.
Отже, є сверхігра нормальної грою чи ні?
Намагаючись відповісти на це питання, не слід, звичайно, йти по легкому шляху чисто словесних розмежувань. Найпростіше сказати, що нормальна гра - це гра, а сверхігра - всього лише розіграш.
Які інші парадокси нагадує цей парадокс сверхігри, що є одночасно і нормальної і ненормальної?
Байіф "Ж. К. Логічні завдання. - М. 1983. Бурбак Н. Нариси з історії математики. - М. 1963. Гарднер М. А ну-ка здогадайся! -М. 1984. Івін А.А. За законами логіки. - М. 1983. Кліні С. К. Математична логіка. - М. 1973. Смалліан P.M. Як же називається ця книга? - М. 1982. Смалліан P.M. Принцеса або тигр? - М. 1985. Френкель А. Бар-Хиллел І. Підстави теорії множин. - М. +1966.
Яке значення мають парадокси для логіки?
Які рішення пропонувалися для парадокса «Брехун»?
У чому особливості семантично замкнутого мови?
В чому суть феномену безлічі звичайних множин?
Чи є рішення спору Протагора і Еватл? Які рішення пропонувалися для цієї суперечки?
Б чому сутність феномена неточних імен?
У чому могло б полягати своєрідність логічних парадоксів?
Які висновки для логіки випливають з існування логічних парадоксів?
У чому відмінність між усуненням і поясненням парадокса? Яке майбутнє чекає на логічні парадокси?
Теми рефератів і доповідей
Поняття логічного парадоксу Парадокс «Брехун» Парадокс Рассела Парадокс «Протагор і Еватл» Роль парадоксів у розвитку логіки Перспективи вирішення парадоксів Розмежування мови і метамови Усунення і дозвіл парадоксів
Багато про що йшла мова в цій книзі. Ще більше цікавих і важливих тем залишилося за її межами.
Логіка - це особливий, самобутній світ зі своїми законами, умовностями, традиціями, суперечками і т.д. Те, про що говорить ця наука, знайоме і близьке кожному. Але увійти в її світ, відчути його внутрішню узгодженість і динаміку, перейнятися його своєрідним духом непросто.
Хотілося б побажати, щоб читач - якщо він вперше познайомився тепер з логікою - не зупинився на першому кроці, особливо якщо це молодий читач.