Основні поняття, закони і формули.
Кінематика - розділ механіки, в якому вивчається механічний рух тіл без урахування причин, що викликають рух.
Механічним рухом називають зміну положення тіла в просторі з плином часу щодо інших тіл.
Найпростішим механічним рухом є рух матеріальної точки - тіла, розміри і форму якого можна не враховувати при описі його руху.
Рух матеріальної точки характеризують траєкторією, довжиною шляху, переміщенням, швидкістю і прискоренням.
Траєкторією називають лінію в просторі, що описується точкою при своєму русі.
Відстань. пройдене тілом уздовж траєкторії руху, - шлях (S).
Переміщення - спрямований відрізок, що сполучає початкове і кінцеве положення тіла.
Довжина шляху - величина скалярна, переміщення - величина векторна.
Середня швидкість - це фізична величена, що дорівнює відношенню вектора переміщення до проміжку часу, за яке відбулося переміщення:
Миттєва швидкість або швидкість в даній точці траєкторії - це фізична величина, що дорівнює межі, до якої прагне середня швидкість при нескінченному зменшенні проміжку часу Dt:
Величину характеризує зміну швидкості за одиницю часу, називають середнім прискоренням:
Аналогічно поняттю миттєвої швидкості вводиться поняття миттєвого прискорення:
При рівноприскореному русі прискорення постійно.
Найпростіший вид механічного руху-прямолінійний рух точки з постійним прискоренням.
Рух з постійним прискоренням називається равнопеременное; в цьому випадку:
Окремим випадком прямолінійного руху з постійним прискоренням є падіння тіл з невеликої висоти (багато меншою радіуса Землі).
Найпростішим видом криволінійного руху є рівномірний рух точки по колу:
Зв'язок між лінійними і кутовими величинами при обертальному русі:
Будь-яке складне рух можна розглядати як результат складання простих рухів. Результуюче переміщення дорівнює геометричній сумі і знаходиться за правилом додавання векторів. Швидкість тіла і швидкість системи відліку так само складається векторно.
При вирішенні завдань на ті чи інші розділи курсу, крім загальних правил рішення, доводиться враховувати деякі доповнення до них, пов'язані зі специфікою самих розділів.
Завдання з кінематики. розбираються в курсі елементарної фізики, включають в себе: завдання про равнопеременное прямолінійній русі однієї або декількох точок, завдання про криволинейном русі точки на площині. Ми розглянемо кожен з цих типів завдань окремо.
Прочитавши умову задачі, потрібно зробити схематичне креслення, на якому слід зобразити систему відліку, і вказати траєкторію руху точки.
Після того як виконано креслення, за допомогою формул:
встановлюють зв'язок між величинами, зазначеними на кресленні.
Cоставить повну систему кінематичних рівнянь, що описують рух точки, потрібно записати у вигляді допоміжних рівнянь все додаткові умови задачі.
Перевіривши число невідомих в отриманій системі рівнянь, можна приступати до її вирішення щодо шуканих величин.
Рішення задач про рух одних тіл відносно інших, які в свою чергу рухаються щодо тіла, прийнятого за нерухомий (найчастіше його пов'язують із Землею), починають з вибору системи відліку.
Для цього необхідно ретельно продумати умову задачі і з'ясувати, до якої системи відносяться задані і шукані характеристики руху.
Потім потрібно встановити рухому і нерухому системи відліку, для рухомих тел вказати кінематичні характеристики відносного і переносного рухів і скласти рівняння руху окремо для рухомої і нерухомої систем відліку.
Складаючи ці рівняння, необхідно стежити за тим, щоб початок відліку часу було однаковим для всіх рухомих тел. Зв'язок між абсолютним, переносним і відносним рухами задається формулами:
Підстановкою в них розгорнутих виразів для Sn, S0, vn, v0 і т. Д. І закінчується перша частина рішення.
Приклад 1. Велосипедист їхав з одного міста в інший. Половину шляху він проїхав зі швидкістю v1 = 12 км / год далі половину часу, що залишився він їхав зі швидкістю v2 = 6 км / год, а потім до кінця шляху йшов пішки зі швидкістю v3 = 4 км / год. Визначити середню швидкість велосипедиста на всьому шляху.
а) Це завдання на рівномірний прямолінійний рух одного тіла. Представляємо вигляді схеми. При складанні її зображуємо траєкторію руху і вибираємо на ній початок відліку (точка 0). Весь шлях розбиваємо на три відрізка S1, S2, S3, на кожному з них вказуємо швидкості v1, v2, v3 і відзначаємо час руху t1, t2, t3.
S = S1 + S2 + S3, t = t1 + t2 + t3.
б) Складаємо рівняння руху для кожного відрізка шляху:
S1 = v1t1; S2 = v2t2; S3 = v3t3 і записуємо додаткові умови задачі:
S1 = S2 + S3; t2 = t3; .
в) Читаємо ще раз умову задачі, виписуємо числові значення відомих величин і, визначивши число невідомих в отриманій системі рівнянь (їх 7: S1, S2, S3, t1, t2, t3, vср), вирішуємо її щодо шуканої величини vср.
Якщо при вирішенні завдання повністю враховані всі умови, але в складених рівняннях число невідомих виходить більше числа рівнянь, це означає, що при подальших обчисленнях одне з невідомих скоротиться, такий випадок має місце і в цьому завданню.
Рішення системи щодо середньої швидкості дає:
г) Підставивши числові значення в розрахункову формулу, отримаємо:
Нагадуємо, що числові значення зручніше підставляти в остаточну розрахункову формулу, минаючи всі проміжні. Це економить час на вирішення завдання і запобігає додаткові помилки в розрахунках.
Вирішуючи завдання на рух тіл, кинутих вертикально вгору, потрібно звернути особливу увагу на наступне. Рівняння швидкості і переміщення для тіла, кинутого вертикально вгору, дають загальну залежність v і h від t для всього часу руху тіла. Вони справедливі (зі знаком мінус) не тільки для уповільненого підйому вгору, але і для подальшого равноускоренного падіння тіла, оскільки рух тіла після миттєвої зупинки у верхній точці траєкторії відбувається з колишнім ускороніем. Під h при цьому завжди мають на увазі переміщення рухається точки по вертикалі, тобто її координату в даний момент часу - відстань від початку відліку руху до точки.
Якщо тіло кинуто вертикально вгору зі швидкістю V0, то час tпод і висота hmax його підйому рівні:
Крім того, час падіння цього тіла в вихідну точку одно часу підйому на максимальну висоту (tпад = tпод), а швидкість падіння дорівнює початковій швидкості кидання (vпад = v0).
Приклад 2. Тіло кинуто вертикально вгору з початковою швидкістю v0 = 3,13 м / с. Коли воно досягло верхньої точки польоту, з того ж початкового пункту з такою ж початковою швидкістю кинули друге тіло. Визначте, на якій відстані від точки кидання зустрінуться тіла; опір повітря не враховувати.
Рішення. Робимо креслення. Відзначаємо на ньому траєкторію руху першого і другого тіла. Вибравши початок відліку в точці, вказуємо початкову швидкість тел v0, висоту h, на якій відбулася зустріч (координату y = h), і час t1 і t2 руху кожного тіла до моменту зустрічі.
Рівняння переміщення тіла, кинутого вгору, дозволяє знайти координату рухомого тіла для будь-якого моменту часу незалежно від того, чи піднімається тіло вгору або падає після підйому вниз, тому для першого тіла
Третє рівняння складаємо, виходячи з умови, що друге тіло кинули пізніше першого на час максимального підйому:
Вирішуючи систему трьох рівнянь щодо h, одержуємо:
б) У завданнях на криволінійний рух точки можна виділити завдання про рух точки по колу і завдання про рух тіл, кинутих під кутом до горизонту.
Рішення задач про рух точки по колу принципово нічим не відрізняється від рішення задач про прямолінійний рух. Особливість полягає лише в тому, що тут поряд із загальними формулами кінематики доводиться враховувати зв'язок між кутовими і лінійними характеристиками руху.
Рух тіл, кинутих під кутом до горизонту, можна розглядати як результат накладення двох одночасних прямолінійних рухів по осях OX та ОУ, спрямованих уздовж поверхні Землі і по нормалі до неї. З огляду на це, рішення всіх задач такого типу зручно починати з розкладання вектора швидкості і прискорення за вказаними осях і потім складати кінематичні рівняння руху для кожного напряму. Необхідно при цьому мати на увазі, що тіло, кинуте під кутом до горизонту, при відсутності опору повітря і невеликий початкової швидкості летить по параболі, і час руху по осі ОХ одно часу руху по осі ОУ, оскільки обидва ці рухи відбуваються одночасно.
Приклад 3. Артилерійське знаряддя розташоване на горі висотою h. Снаряд вилітає зі ствола зі швидкістю v0, спрямованої під кутом a до горизонту. Нехтуючи опором повітря, визначте:
а) дальність польоту снаряда по горизонтальному напрямку;
б) швидкість снаряда в момент падіння;
г) початковий кут стрільби, при якому дальність польоту найбільша.
Прямокутну систему координат вибираємо так, щоб її початок збігся з точкою кидання, а осі були спрямовані уздовж поверхні Землі і по нормалі до неї в бік початкового зсуву снаряда. Изображаем траєкторію снаряда, його початкову швидкість, кут кидання a, висоту h, горизонтальне переміщення S, швидкість в момент падіння (вона спрямована по дотичній до траєкторії в точці падіння) і кут падіння j (кутом падіння тіла називають кут між дотичною до траєкторії, проведеної в точку падіння, і нормаллю до поверхні Землі).
Рух тіла, кинутого під кутом до горизонту, можна уявити як результат складання двох прямолінійних рухів: одного-уздовж поверхні Землі (воно буде рівномірним, оскільки опір повітря не враховується) і другого-перпендикулярно поверхні Землі (в даному випадку це буде рух тіла, кинутого вертикально вгору). Для заміни складного руху двома простими розкладемо (за правилом паралелограма) швидкості і на горизонтальні і вертикальні складові і знайдемо їх проекцій і - для швидкості і vx і vy - для швидкості.
а, б) Складаємо рівняння швидкості і переміщення для їх проекцій по кожному напрямку. Так як в горизонтальному напрямку снаряд летить рівномірно, то його швидкість і координати в будь-який момент часу задовольняють рівнянням
Для вертикального напрямку:
У момент часу t1, коли снаряд упаде на землю, його координати рівні:
В останньому рівнянні переміщення h взято зі знаком "мінус", так як за час руху снаряд зміститься щодо рівня відліку 0 висоти в сторону протилежну напрямку, прийнятому за позитивне.
Результуюча швидкість в момент падіння дорівнює:
У складеній системі рівнянь п'ять невідомих, нам потрібно визначити S і v.
З рівнянь (4) і (5) знаходимо час польоту снаряда:
Підставляючи вирази для t1 формули (2) і (3) з урахуванням (5), відповідно отримуємо:
Після цього з (6) з урахуванням (1) і (8) знаходимо:
З отриманих результатів можна зробити наступні висновки.
Якщо h = 0, тобто снаряди падають на рівні вильоту, то згідно з формулою (7) дальність їх польоту буде дорівнює:
Якщо при цьому кут кидання дорівнює 45 град (sin 2a = 1), то при заданій початковій швидкості v0 дальність польоту найбільша:
Підставивши у вираз (9) значення h = 0, отримаємо, що швидкість снаряда в момент його польоту до рівня, з якого був зроблений постріл, дорівнює його початковій швидкості: v = v0.
При відсутності опору повітря, скрость падіння тіл дорівнює початковій швидкості кидання незалежно від того, під яким кутом було кинуто тіло, аби точки кидання і падіння перебували на одному рівні. З огляду на, що горизонтальна складова швидкості з плином часу не змінюється, легко встановити, що в момент падіння швидкість тіла утворює з горизонтом такий же кут, як і в момент кидання.
д) Вирішуючи вирівняні (2), (4) і (5) щодо початкового кута кидання a отримаємо:
Оскільки кут кидання не може бути уявним, то цей вислів має фізичний сенс лише за умови, що
звідки випливає, що максимальне переміщення снаряда по горизонтальному напрямку одно:
Підставляючи вираз для S = Smax в формулу (10), отримаємо для кута a, при якому дальність польоту найбільша: