Кішки, мишки і все піщинки Всесвіту
"В одному місті у великої річки люди дуже любили кішок. У семи будинках цього міста тримали по сім струнких витончених гладкошерстних кішок в кожному. Ці кішки були чудовими мисливцями і дуже любили ловити мишей. Одного разу кожна з них впіймала і з'їла по сім товстих мишок. Кожна з мишок до цього встигла вже з'їсти по сім колосків, кожен з яких, якби він не був з'їдений мишкою, дав би по сім заходів зерна хліборобові. Хотілося б знати, скільки всього було в семи будинках міста у великої річки струнких кішок, скільки вони разом з'їли товстих мишей, скільки всього колосків встигли з'їсти спіймані кішками мишки і скільки заходів зерна не дорахувалися в урожаї хлібороби завдяки шкідливому апетиту з'їдених гризунів? "
Це завдання з дуже старого підручника математики, складеного колись в Стародавньому Єгипті і зберігся до наших днів на одному з папірусів. У XVIII столітті до н. е. цей папірус був переписаний з якогось ще більш давнього папірусу, оригінал якого не зберігся.
"Подумаєш! - скаже який-небудь п'ятикласник. - Я теж вмію розраховувати площа кола, це робиться за формулою:
S = r 2, де S - шукана площа, r - радіус кола, тобто половина його діаметра, а - це число, що дорівнює приблизно 3,14.
В тому-то й заковика, що єгиптяни значення числа (пі) не знали, а площа кола розраховувати вміли. Хоча і приблизно, але з дуже малою похибкою. Для цього вони вираховували площа квадрата зі стороною, що дорівнює 8/9 діаметра кола, площа якого хотіли визначити. Площа такого квадрата дійсно близька до площі шуканого кола, і помилка при обчисленнях дуже невелика. Вона така, як якщо б у всьому тепер відомою формулою, за якою обчислюють площу кола, замість значення числа підставили б не 3,14, а 3,16.
Вміли єгиптяни без числа обчислювати площі і обсяги набагато складніших фігур, ніж коло, таких як зрізана піраміда або півкуля. Винахідливі були в країні фараонів математики, а все почалося з того, що єгиптяни навчилися рахувати.
Тобто, якщо бути точним, як це личить в математиці, вважати люди навчилися ще раніше, ніж навчилися писати. Вони ще в первісному суспільстві володіли азами арифметики краще братів своїх менших. Але якщо ти добре вмієш рахувати по пальцях до десяти або навіть до двадцяти в розумі - це ще не означає, що ти зможеш правильно розділити десять мірок ячменю між десятьма людьми так, щоб різниця між кожною людиною і його сусідом становила 1/8 заходи. А це ще одна задачка з того ж "математичного" папірусу.
До складання цього древнього підручника математика в Древньому Єгипті пройшла довгий шлях розвитку, збагатилася багатьма досягненнями знань і винаходами. І перш за все для того, щоб вести правильні складні обчислення, людям треба було вигадати цифри - знаки, за допомогою яких можна записати число.
Свої цифри єгиптяни, мабуть, придумали в ті ж часи, що і ієрогліфи писемності - в середині або на початку четвертого тисячоліття до н. е. Цифри ці були прості, але зате і всім зрозумілі. Звичайні маленькі вертикальні рисочки застосовувалися для запису чисел від 1 до 9, одна риска - це одиниця, дві рисочки відповідали двійці, три - трійці і т. Д. А ось число десять вже зображували іншим знаком, що нагадує скобу або підкову. У єгиптян він, мабуть, символізував пута для худоби. Сотню єгиптяни зображували знаком, що нагадує закручену мотузку, стебло лотоса позначав тисячу, піднятий вгору людський палець - десять тисяч. Сто тисяч єгипетські математики зображували, малюючи пуголовка, напевно, тому, що їх дуже багато народиться з ікри однієї жаби. Фігура сидячого божества з піднятими руками позначала мільйон - так багато, що тільки богу під силу охопити це число розумом.
Десять рисок-одиниць можна було замінити одним знаком десятки, десять десятків - знаком сотні, десять сотень - знаком тисячі і так далі. Це означає, що у єгиптян була десяткова система числення, якою користуються люди і донині.
За допомогою послідовності з таких цифр єгиптяни могли записати будь-яке число. Писали вони горизонтально справа наліво зображуючи спочатку знаки більшого значення, а потім більш дрібні. Загалом, так само як і ми, в тому ж порядку, тільки починаючи запис з іншого боку.
В сучасних математичних записах числа будь-яка цифра в залежності від її положення в запису може набувати значень різного порядку. Так, 1 - це просто одиниця, а якщо за нею стоїть ще якась цифра, то та ж одиниця набирає вагу і стає вже десятком. Може.т ця цифра означатиме і сотню, і тисячу, в залежності від того місця (позиції), яке займає в записі числа. Така система числення називається "позиційної".
У єгиптян ж вертикальна паличка завжди залишалася одиницею, а "підкова" - десяткою. Тому в запису великих чисел єгипетським математикам доводилося повторювати той чи інший знак стільки раз, скільки було одиниць, десяток, сотень, поки їх не можна було замінити такою об'єднуючою цифрою. Наприклад, в числі триста сорок два (342) єгиптянин написав би справа наліво три знака "скрученої мотузки" - три сотні, потім чотири знака "підкови" - чотири десятки і дві вертикальні рисочки. Записи великих чисел у єгиптян виходили дуже громіздкими, а винайдену ними систему числення називають "непозиционной". І все-таки єгиптяни примудрялися правильно складати, віднімати, ділити і множити, незважаючи на труднощі оперування такими цифрами. А це було дійсно нелегко. Особливо важко давалися множення і ділення.
Знали вони вже і дробу, але у більшості дробів єгипетських математиків в чисельнику стояла одиниця - 1/2, 1/3, 1/4, 1/54 і т.п. Деякі, особливо часто вживаються в розрахунках єгиптян дроби мали свої власні особливі знаки: 1/2 позначалася стилізованим зображенням ребра, може бути, тому, що навпроти кожного ребра з іншого боку тіла є таке ж, 1/4 позначалася косим хрестом - це зрозуміло, адже хрест ділить площину на чотири частини, особливі знаки були також у 2/3 і 3/4.
Для визначення заходів сипучих речовин, наприклад зерна, існували у єгиптян особливі дробу. Міра зерна називалася "Хекат" (4,785 л), і ділилася вона відповідно до міфом єгиптян про боротьбу злого бога Сета з богом Гором. Сет розірвав на частини очей Гора, але мудрий бог Тот відновив його. Зображення різних шматочків розірваного очі Гора служили єгиптянам для позначення різних частин Хекат - 1/2, 1/4, 1/8, 1 / l6, 1/32 і 1/64. Це були вже справжні дробові ієрогліфи.
Довжину єгиптяни вимірювали в "ліктях" (52,3 см), "долонях" (7 долонь = 1 лікоть) і "пальцях" (4 пальця = 1 долоню). Міра площі називалася "сечат" і становила 100 квадратних ліктів. Міра ваги "дебен" дорівнювала приблизно 91 кг.
Математика єгиптян розвивалася в міру потреби разом з цивілізацією. Єгипетські жерці не займалися математичними дослідженнями з метою розвитку самої науки, їх думка завжди працювала в напрямку вирішення тієї чи іншої конкретної практичної задачі з повсякденного життя. Збирачеві податків або писареві необхідно провести правильний облік зерна чи худоби, жрець-інженер повинен розрахувати, скільки знадобиться кам'яних блоків для будівництва піраміди або параметри системи зрошувальних каналів, що приносять воду могутнього Нілу до посушливих земель. Або треба дізнатися, скільки працівників буде потрібно для будівництва палацу або пірамід і скільки днів в році буде працювати кожен з них, так щоб у нього залишилося ще час для роботи у власному господарстві, та інше, інше. Відповідно до такої спрямованістю на практичне вирішення життєвих завдань складалися і математичні підручники-папіруси древніх єгиптян.