Елементи g 1> і g 2> групи G називаються зв'язаними. якщо існує елемент h ∈ G. для якого h g 1 h - 1 = g 2 h ^ = g_>. Спряженість є відношенням еквівалентності. а тому розбиває G на класи еквівалентності. це, зокрема, означає, що кожен елемент групи належить в точності одного класу спряженості, і класи [g 1]]> і [g 2]]> збігаються тоді і тільки тоді. коли g 1> і g 2> пов'язані, і не перетинаються в іншому випадку.
- Класи спряженості можуть бути також визначені як орбіти дії групи на собі сполученнями, заданими формулою (g. M) = g m g - 1> [1].
- Нейтральний елемент завжди утворює свій власний клас [e] =
> - Якщо G - абелева. то ∀ g. h ∈ G g h g - 1 = h \ ghg ^ = h>. таким чином [g] =
> Для всіх елементів групи. - Якщо два елементи g 1> і g 1> групи G належать одному і тому ж класу спряженості, то вони мають однаковий порядок.
- Більш загально: будь теоретико-групове твердження π (g) про елемент g ∈ G еквівалентно твердженням для елемента h ∈ [g]. оскільки поєднання x → x g x - 1> є автоморфизмом групи g ∈ G.
- Елемент g ∈ G лежить в центрі Z (G) тоді і тільки тоді, коли його клас спряженості складається з єдиного елемента: [g] =
>. - Більш загально: індекс підгрупи Z G (g) (g)> (централізатора заданого елемента g) дорівнює числу елементів в класі спряженості [g] (по теоремі про стабілізацію орбіт [en]).
- Якщо g 1> і g 2> пов'язані, то пов'язані і їх ступеня g 1 k ^> і g 2 k ^>.
- Для будь-якого елементу групи g ∈ G елементи в класі спряженості [g] взаємно-однозначно відповідають класам суміжності централізатора Z G (g) (g)>. дійсно, якщо h 1 ∈ [h 2] \ in [h _]>. то h 1 = h 2 z = h_z> для деякого z ∈ Z G (g) (g)>. що призводить до того ж самому сполучених елементу: h 1 gh 1 - 1 = h 2 zg (h 2 z) - 1 = h 2 zgz - 1 h 2 - 1 = h 2 zz - 1 gh 2 - 1 = h 2 gh 2 - 1 gh _ ^ = h_zg (h_z) ^ = h_zgz ^ h _ ^ = h_zz ^ gh _ ^ = h_gh _ ^>. Зокрема:
- Якщо G - кінцева група. то число елементів в класі спряженості [g] є індексом централізатора [G. Z G (g)] (g)]>.
- Порядок кожного класу спряженості є дільником порядку групи.
- Порядок групи є сумою індексів централізаторів за обраним представнику g i> з кожного класу спряженості: | G | = Σ i [G. Z G (g i)]> [G: Z_ (g _)]>. З урахуванням того, що централизатор групи Z (G) утворює клас спряженості з єдиного елемента (самого себе), це співвідношення, зване рівнянням класів спряженості [2]. записується в такий спосіб: | G | = | Z (G) | + Σ i [G. Z G (g i)]> [G: Z_ (g _)]>.
- Наприклад, нехай задана кінцева p-група G (тобто група з порядком p n>. Де p - просте число і n> 0). Оскільки порядок будь-якого класу спряженості повинен ділити порядок групи, всякий клас спряженості H i> також має порядок, рівний деякій мірі p k i >> (0
), І тоді з рівняння класів спряженості слід, що:
- Класи спряженості в фундаментальної групі лінійно зв'язного топологічного простору можна розглядати як класи еквівалентності вільних петель [en] при вільної гомотопії.
Варіації і узагальнення
Для довільного підмножини (не обов'язково підгрупи) S ⊆ G підмножина T ⊆ G називається зв'язаним до S. якщо існує певний елемент g ∈ G. такий, що T = g S g - 1>. В цьому випадку клас спряженості [S] - безліч всіх підмножин T ⊆ G. таких, що кожне T є сполученим S.
Широко застосовується теорема, згідно з якою для будь-якого заданого підмножини S групи G індекс безлічі його нормалізатора N (S) дорівнює порядку її класу спряженості [S]:
Підгрупи можна розділити на класи спряженості так, що дві підгрупи належать одному класу в тому і тільки в тому випадку, коли вони пов'язані. Зв'язані підгрупи ізоморфні. але ізоморфні підгрупи не обов'язково повинні бути сполученими. Наприклад, абелева група може містити дві різні ізоморфні підгрупи, але вони ніколи не будуть сполученими.