Почати розбиратися в суті спектральних уявлень краще з розкладання в ряд Фур'є періодичного сигналу. Будь-яка періодична функція (з обмеженнями, що носять абстрактний характер) може бути представлена у вигляді розкладання в ряд по тригонометричним функціям
(1.1)
Таким чином, періодична функція s (t) представлена сумою доданків, кожне з яких є не що інше, як косінусоідальное коливання з амплітудою сk і початковою фазою.
Сукупність коефіцієнтів сk називається амплітудним спектром сигналу, а - фазовим спектром.
Частоти всіх синусоїдальних коливань, з яких складається періодична функція s (t), кратні основній частоті F = 1 / Т. Окремі складові називаються гармоніками. Коливання з частотою F називається першою гармонікою (k = 1), з частотою 2F- другий гармонікою (k = 2) і т. Д.
Ряд Фур'є дає розкладання періодичної функції по тригонометричним функціям. Це розкладання можна застосувати і до неперіодичної функції, яку розглядають як граничний випадок періодичної функції при необмеженому зростанні періоду.
Якщо Т->. то F-> df, a 2pk / T-> w (параметр w- кругова поточна частота, змінюється безперервно). Не хотілося б тут розповідати докладно про всі математичних перетвореннях, які необхідно виконати при такому граничному переході. Тому відразу наведемо підсумкові формули, які є основними співвідношеннями теорії спектрів. Вони являють собою пару перетворень Фур'є, що зв'язують між собою дві функції: речову функцію часу s (t) і комплексну функцію частоти G (w):
Формула (1.2) називається інтегралом Фур'є в комплексній формі. В даному випадку мається на увазі, що функція неперіодичних, тому вона може бути представлена тільки сумою нескінченно великого числа нескінченно близьких по частоті коливань з нескінченно малими амплітудами.
Якщо ряд Фур'є представляє періодичну функцію сумою хоча і нескінченного числа синусоїд, але з частотами, що мають певні дискретні значення, то інтеграл Фур'є представляє неперіодичних функцію сумою синусоид і косинусоид з безперервною послідовністю частот. Іноді кажуть, що в .составе непериодического сигналу є коливання всіх частот. У разі непериодического сигналу говорити про амплітудах окремих спектральних складових немає сенсу, т. К. Це нескінченно малі величини. Насправді параметр G (w) виражає не безпосередньо амплітуду, а так звану спектральну щільність. Зазвичай цю деталь опускають і називають G (w) комплексним спектром неперіодичної функції, а абсолютне значення цієї величини - просто спектром.
У спеціальній літературі можна знайти теореми, що дозволяють полегшити спектральні перетворення сигналів, а також співвідношення і графіки, що описують спектри сигналів різної форми.