Ххгх »УУ (х,), яке явно визначно з ІТ (воно також є декартових твором тт 'Х Я).
Нехай тепер Х є сукупністю відносин в Я з різною кількістю аргументів. Ми говоримо, що Е замкнута щодо екзистенціальної определі- мости, якщо Х замкнута щодо операцій об'єднання, перетину, екзистенціальної квантификации і всіх явних перетворень. Для будь-яких відносин 'тт'о. І '. в Я ми можемо говорити про найменшу сукупності Ем яка містить ТТО. тт "і яка замкнута щодо екзистенціальної визначених. Е, - просто перетин всіх сукупностей л, ', які містять І' ". 'Тт' "і які замкнуті отросітельно екеістенпіальной визначених. Ми скажемо, що будь-який елемент сукупності Х, еквіетенііально визначимо з ТТО. Іт ". Інакше кажучи, тт є екзистенційно визначним ІЕ тт ". тт ", якщо існує кінцева послідовність (] ть.] г») така, що [т '= уз і кожне відношення з цієї послідовності або є одним з І'о або виходить з попередніх членів послідовності за допомогою однієї з операцій об'єднання, перетину , екзистенціальної квантификации, деякого явного перетворення ').
Зауважимо, що будь-яка умова, яке може бути записано за допомогою використання тільки імен І ' ". І ', імен елементів Я, змінних з допустимими значеннями з Я, логічних зв'язок «/
»І« ч ' »(які замінюють відповідно« і »і« чи ») і символу« Е »(що означає квантор існування), визначає ставлення, яке екзистенційно визначно з тт". тт ". Наприклад, нехай тт складається верб безлічі всіх трійок (х, у, х), для яких виконується
') Ми використовуємо термін «екзистенційно визначна» в більш широкому сенсі, ЧЗМ Джулія Робінсон [$]. Вона наеизазг відношення чисел «екзістенцмзльне визначним», якщо Ене екзистенційно визначно (з нашому розумінні) мз двох егаошзнай: в + г = *, х Х з = з. [Мат іясевіч [г], [2] довів, що сезекупіость всіх екзистенційно оврздзлііих про
носіння в сенсі Дж. Рсбвнсон збігається із сукупністю всіх РП відносин (див. також Косівський [2), Виноград «е і Косівський [[], гдз зачіпаються питання, сзязаннис з конструкціями цього докази) .- Прим. пзлз «.]
Формьльная прндставімопгь (гл. П
ПК, (х, 13, х) Ч ФГЙ (ДТ Д БоІтз (х, о).
Щоб довести, що ту екзистенційно визначно з І "ь Іт. Іт" ми виписуємо послідовність
Надалі, коли ми будемо стверджувати, що певний стосунок) т 'екзистенційно визначно з відносин Іті. ) Т ' ", будемо задовольнятися виписуванням умови приналежності до Іт замість явного вказівки схеми, як це зроблено вище.
Т е о р е м а $. Сукупність Х всіх відносин в К, які (дормально представимо над К, замкнута щодо екзистенціальної визначених.
Доведення. Потрібно довести, що Е замкнута щодо об'єднання, перетину, екзистенціальної квантификации і явних перетворень.
(1) Об'єднання. Нехай І '= Ю, 0 ІТН де І', і ІТ, - п-місцеві відносини, які формально представимо над К. По з Про ми можемо отримати ЕФС (Е) над К, в якій І ', і І; представлені, скажімо, предикатами Р, і Р. Візьмемо новий предикат Р і додамо до системи (Е) аксіоми
У цій розширеній системі предикат Р являє