2.10. КОМБІНАЦІЇ ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН
2.10.1. Незалежні випадкові величини
Іноді виникає необхідність об'єднати випадкові величини в нову випадкову величину. Наприклад, збірка продукції складається з двох етапів. Час, що йде на кожен з них, незалежно один від одного, тому загальний час одно:
де - час збирання на першому і другому етапах відповідно.
На іншій фабриці спеціальні коробочки заповнюються апельсиновим соком. Потім, взяті навмання чотири коробочки, об'єднуються в упаковку. Якщо позначити вага кожної коробочки - а вага упаковки - Т, то:
Поки нас не цікавить тип розподілу вихідних випадкових величин. За умови, що випадкові величини незалежні один від одного, ми можемо вивести формули середньої і дисперсії об'єднаної випадкової величини. Отже, якщо значення двох незалежних одна від одної випадкових величин позначити х і у, то значення об'єднаної випадкової величини z буде:
Незалежно від типу розподілу х і у середній z є сума середніх х і у:
Те ж співвідношення для дисперсій:
Слід зазначити, що стандартні відхилення не сумуються, підсумовуються тільки дисперсії.
Приклад 2.17. Щоденний попит на товар - 100 одиниць, стандартне відхилення - 12 одиниць в день. Використовуючи дані середніх продажів за день, обчисліть середню кількість товару, що продається за тиждень.
Так як продане за день кількість товару не залежить від попередніх днів, то загальна кількість товару, продане за сім днів розраховується як:
Для того, щоб розрахувати стандартне відхилення для тижневих даних, спочатку обчислимо дисперсію. Для денного попиту дисперсія дорівнює. Для тижневого попиту: отже, стандартне відхилення дорівнює: тиждень.
Може знадобитися формування нової випадкової величини z як різниці вихідних випадкових величин х і у. Порядок дій залишається тим же самим, що в разі підсумовування. Якщо ми маємо дві незалежні випадкові величини х і у, тоді:
Незалежно від типу розподілу х і у середній z є різниця середніх х і у:
Однак дисперсія z дорівнює сумі дисперсій х і у:
Приклад 2.18. На лісопилці з готових дощок середня довжина яких 200 см, а стандартне відхилення - 1,7 см, роблять дошки з середньою довжиною 70 см і стандартним відхиленням 0,3 см. Яке середнє і стандартне відхилення обрізків
Вихідна довжина і довжина обрізка не залежать одне від одного, тобто
Отже, стандартне відхилення см.
Незалежно від того, складаємо ми випадкові величини або віднімаємо, їх дисперсії складаються.
Розглянуті вище формули можуть бути застосовані до будь-якої кількості незалежних випадкових величин. Ми не будемо розглядати ситуацію, коли випадкові величини залежні, крім одного випадку, наведеного нижче.