Покриттям безлічі називається таке сімейство його підмножин, що. У разі коли - топологічний простір, це покриття називається відкритим (замкнутим) покриттям простору, якщо все безлічі відкриті (замкнуті).
Визначення 1. Топологічний простір називається компактним. якщо з будь-якого його відкритого покриття можна виділити кінцеве підпокриття.
Гаусдорфів компактні простору називається компактами.
Визначення 2. Точка називається граничною точкою множини, якщо у всякій околиці точки міститься нескінченно багато точок безлічі. Точка називається точкою повного накопичення безлічі, якщо для будь-якої її околиці безлічі і рівнопотужні.
Определеніе3. Топологічний простір називається лічильно-компактним. якщо з будь-якого його рахункового відкритого покриття можна виділити кінцеве підпокриття.
Теорема 1. Топологічний -простору лічильно-компактно тоді і тільки тоді, коли будь-яке нескінченна підмножина має граничну точку.
Доведення. Необхідність. Припустимо гидке, що в існує нескінченна підмножина, яке не має граничних точок. Відомо, що -простору всяке безліч без граничних точок замкнуто. Тому безліч відкрито. Оскільки безліч замкнуто і не має граничних точок, у будь-якої точки існує околиця, перетинається з безліччю в єдиній точці. З рахункового покриття можна виділити кінцеве підпокриття. Тоді безліч складається з точок. Отримали протиріччя, що містить нескінченне багато точок.
Достатність. Припустимо гидке. Існує рахункове відкрите покриття простору, з якого не можна виділити кінцевого покриття. Можна вважати, що для будь-якого. З кожної різниць виберемо по точці і покладемо. Нехай - довільна точка простору. Тоді точка лежить в деякому елементі покриття. Безліч є околицею точки, що перетинаються з безліччю не більше ніж по точці. Таким чином, безліч не має граничних точок. Отримали протиріччя. Теорема 6.1 доведена.
Определеніе4. Топологічний простір називається фінально компактним. якщо з будь-якого його відкритого покриття можна виділити рахункове підпокриття.
Приклад 1. Нехай - числова пряма зі звичайною топологією є фінально-компактним, але не є компактним простором.
Твердження 1. У фінально-компактним просторі всяке незліченну безліч регулярної потужності має точку повного накопичення.
Доведення. Припустимо гидке, що існує безліч незліченну регулярної потужності, що не має точок повного накопичення. Тоді у всякої точки існує околиця, перетинається з безліччю по безлічі потужності. З покриття простору можна вибрати рахункове підпокриття. Отже, безліч можна уявити у вигляді лічильної суми множин потужності, що суперечить регулярності і незліченну. Затвердження 1 доведено.
Теорема 2. Топологічний простір компактно тоді і тільки тоді, коли будь-яке його нескінченна підмножина має точку повного накопичення.
Доведення. Необхідність. Нехай - компактний простір. Тоді в силу зауваження 1 простір є фінально компактним простором. В силу затвердження 1-яке нескінченна підмножина простір має повного накопичення.
Достатність. Нехай нескінченна підмножина простір має точку повного накопичення, т. Е. Для кожної околиці точки безлічі і рівнопотужні. Це означає, що точка є гранична точка множини. Покажемо, що є компактне простір. Теорема 3. Нехай - Тихонівське простір. тоді
.
Основні терміни (генеруються автоматично). повного накопичення, нескінченна підмножина, Топологічний простір, граничних точок, точку повного накопичення, нескінченна підмножина простір, кінцеве підпокриття, відкритого покриття, компактний простір, повного накопичення безлічі, компактним простором, точок повного накопичення, точок множини, безліч, топологічний простір, граничної точкою множини, околиці точки безлічі, гранична точка множини, Покриттям безлічі, регулярної потужності.