Отже, концентрація носіїв у власних і домішкових напівпровідниках сильно залежить від температури. Одним з основних параметрів, що характеризують газ вільних носіїв в напівпровідниках, є рівень Фермі, який також залежить від температури.
У власних і слаболегірованних напівпровідниках, на відміну від металів, електронний газ є невироджених і може бути описаний класичної статистикою Максвелла-Больцмана.
При температурі Т (Т> 0ДО) в зоні провідності такого напівпровідника знаходяться електрони, а у валентній зоні - дірки. Позначимо їх концентрації відповідно n і p. Приймемо за початок відліку енергії електронів дно зони провідності. Використовуючи раніше отримані співвідношення (п.3.3) для функції Максвелла-Больцмана, можна визначити число частинок в інтервалі Е. E + dE як
В невироджених напівпровідниках ЕФ є величиною від'ємною і, за визначенням, знаходиться нижче дна зони провідності (рис. 5.3, а).
Позначимо відстань від стелі валентної зони до рівня Фермі як # 956; ', А відстань від рівня Фермі до дна валентної зони - # 956; (Рис. 5.3, а).
З малюнка очевидно випливає, що
де Еg - ширина забороненої зони напівпровідника.
Мал. 5.3. Зонна структура напівпровідника: а - температурна постійна;
Повне число електронів, що знаходяться в зоні провідності, можна визначити, інтегруючи (5.33) в інтервалі від 0 до Е2. Оскільки функція exp (-E / kT) спадає дуже швидко, то верхня межа інтегрування Е2 (тут не негативний) можна замінити приблизно на нескінченність так, що
Обчислення цього інтеграла приводить до наступного результату:
де NC - ефективна щільність станів в зоні провідності.
Подібний розрахунок, проведений для щільності дірок у валентній зоні, призводить до вираження
де NV - ефективна щільність станів у валентній зоні.
З (5.36) і (5.37) випливає, що концентрація вільних носіїв заряду в даній зоні визначається відстанню цієї зони від рівня Фермі: чим більша ця відстань, тим нижче концентрація носіїв.
У власних напівпровідниках концентрація електронів в зоні провідності ni дорівнює концентрації дірок у валентній зоні
Прирівнюючи праві частини (5.36) і (5.37) і вирішуючи отримане рівняння щодо ЕФi з урахуванням (5.34), отримаємо вираз
Останнє співвідношення визначає положення рівня Фермі у власних напівпровідниках. При абсолютному нулі (Т = 0)
тобто рівень Фермі розташовується посередині забороненої зони (рис. 5.3, б). З підвищенням температури він зміщується або вгору (mp *> mn *), або вниз (mp * Підставляючи ЕФi з (5.39) в (5.36) і (5.37), отримаємо вираз, що описує концентрацію носіїв заряду у власних напівпровідниках Аналіз цього виразу показує, що рівноважна концентрація носіїв в напівпровіднику визначається шириною забороненої зони і температурою напівпровідника. Залежність ця дуже сильна. Так, зменшення Од з 1,2 еВ (кремній) до 0,08 еВ (сіре олово) при кімнатній температурі призводить до збільшення концентрації на 9 порядків, а зростання температури германію від 100 К до 600 К підвищує концентрацію носіїв на 17 порядків. Однак напівпровідники часто використовують в домішковому варіанті, тобто з включенням донорной або акцепторной домішки (п. 4.6). Нагадаємо, що в цьому випадку напівпровідники мають більш високу концентрацію носіїв заряду, особливо при низьких температурах. При низьких температурах середня енергія теплових коливань кристалічної решітки мала і недостатня для перекидання електрона через заборонену зону. Однак ця енергія може виявитися достатньої для переходів: донорний рівень - зона провідності; або валентна зона - акцепторні рівень, тому що # 916; Од <<Еg или ΔЕа <<Еg . Поэтому при низких температурах в примесных проводниках происходит возбуждение практически лишь примесных уровней. Можна вважати, що концентрація іонізованих донорних атомів згідно з розподілом Максвелла-Больцмана дорівнює де N д - концентрація атомів донорної домішки, а концентрація іонів акцепторної домішки дорівнює Для випадку низьких температур, відповідно до закону збереження заряду, відповідно для електронного та діркового напівпровідників можна записати Прирівнюючи (5.37) і (5.42), отримаємо вирази для рівня Фермі в електронному напівпровіднику З виразу (5.45) випливає, що при нульовій температурі рівень Фермі знаходиться посередині інтервалу Од + Ес = # 916; Од і з ростом температури зміщується вниз (рис. 5.4, а). Якщо уявити останній вираз в (5.37), то отримаємо формулу для концентрації основних носіїв (електронів) в n -полупроводніке Цікавим є і знаходження концентрації неосновних носіїв в електронному напівпровіднику - дірок pn. Для цього необхідно вираз для рівня Фермі (5.45) підставити в (5.38). Після ряду простих перетворень отримаємо закон діючих мас З цього закону випливає, що при підвищенні концентрації донорної домішки, а отже, і з ростом концентрації основних носіїв, спостерігається зниження концентрації неосновних носіїв. Закон діючих мас справедливий для будь-якого невиродженого напівпровідника в умовах термодинамічної рівноваги. Так, для діркового напівпровідника можна записати вираз З підвищенням температури напівпровідника концентрація носіїв (рис. 5.4) зростає до тих пір, поки вона на наблизиться до концентрації домішки. Умова електронейтральності в цьому випадку набуде вигляду nn = N д. Підставляючи в цю рівність формулу (5.36), після нескладних перетворень отримаємо вираз для рівня Фермі в даному температурному діапазоні Подальше підвищення температури призведе до зростання концентрації носіїв за рахунок порушення їх з валентної зони, а також до зростання неосновних носіїв. Якщо концентрація дірок буде близька до концентрації електронів, напівпровідник за своїми властивостями виявиться близьким до бездомішкового, тобто p ≈ n, Eфn ≈ Eфi. Аналогічні міркування і викладки можна провести для напівпровідника p-типу. має тільки акцепторну домішка. В цьому випадку можна записати вираз для рівня Фермі і вираз для концентрації основних носіїв Вирази (5.45), (5.46), (5.50) і (5.51) можна проілюструвати відповідними графіками (рис. 5.4).
Мал. 5.4. Залежність концентрації носіїв заряду і рівня Фермі від температури:
а - електронний напівпровідник; б - дірковий напівпровідник
На малюнку видно, що при малих температурах рівень Ферми знаходиться між домішковим рівнем і краєм найближчій зони. Концентрація основних носіїв при цьому різко зростає з підвищенням температури. Потім настає область, де концентрація основних носіїв практично постійна, а рівень Фермі весь час зміщується до середини забороненої зони. Цю область називають областю виснаження домішки, оскільки всі наявні атоми іонізовані. В кінці даної області починаються переходи електронів з валентної зони в зону провідності і різко зростає концентрація неосновних носіїв.
Якщо в напівпровіднику містяться обидва сорти домішок (донори та акцептори), то тип провідності визначається за переважаючою. Якщо, наприклад, концентрація донорів більше, ніж концентрація акцепторів, то при Т = 0 всі акцепторні рівні будуть заповнені електронами, які перейшли від донорів. Умова електронейтральності в цьому випадку набуде вигляду
де Pд як і раніше визначається з (5.42), а n - з (5.36).
При підвищенні температури все донорні рівні спустошуються і концентрація електронів стає постійною і рівною
Всі попередні міркування відносяться до слаболегірованних напівпровідників, де може бути застосована статистика Максвелла-Больцмана. Однак в ряді випадків використовуються напівпровідники з великою концентрацією домішки, тобто сильнолегованих напівпровідники.
На рис. 5.5, а показана температурна залежність концентрації електронів при різних концентраціях донорної домішки N д. Зростання N д викликає природне зміщення графіків вгору, зростання температур виснаження домішки, а також зменшення кута нахилу домішкових ділянок графіків, тобто зменшення енергії іонізації домішки # 916; Од.
Це ж відбувається і в акцепторних напівпровідниках. Наприклад, в кремнії, легованому бором, зміна # 916; Еа з ростом Nа описується емпіричним співвідношенням
де ЄАО ≈ 0,08 еВ - енергія іонізації в слаболегірованних напівпровідниках;
# 945; = 4,3 # 8729; 10 -10 еВ / м.
Відповідно до (5.54) при Nа = 6 # 8729, 10 24 м -3. # 916; Еа = 0 і концентрація носіїв в примесной області перестає залежати від температури. Такі напівпровідники називають виродженими.
Мал. 5.5. Леговані напівпровідники: а - температурна залежність концентрації
носіїв; б - домішковий рівень у забороненій зоні; в - примесная зона в забороненій зоні; г - перекриття домішкової зони і зони приводимість в вироджених напівпровідниках
Зменшення енергії іонізації домішки при збільшенні її концентрації Nпр пояснюється тим, що з ростом Nпр відстань між атомами домішки зменшується, а взаємодія між ними зростає. При досягненні певної величини Nпр домішковий рівень розщеплюється в примесную зону (рис. 5.5, в), а при подальшому збільшенні Nпр примесная зона зростає і може перекриватися з зоною провідності (рис. 5.5, г). У цьому випадку енергія іонізації звертається в нуль і напівпровідник в примесной області веде себе, практично як метал. Рівень Фермі з підвищенням ступеня легування зміщується до примесной зоні і (в разі виродженого напівпровідника) виявляється, в залежності від типу домішки, в зоні провідності або валентної зоні. В області ж власної провідності напівпровідника концентрація його носіїв знову набуває характерні властивості.