Припустимо, що замість точних значень задані їх наближення, де - помилки округлення. тоді
Для більшої наочності будемо припускати, що (- поліном четвертого ступеня), (обчислення з 12-ю десятковими знаками), тоді
З останньої формули випливає, що
1. при (якщо, то замість);
2. для отримання немає сенсу брати і при ми отримаємо найкращу точність.
чисельне інтегрування
Інтегрування функцій є однією з основних математичних операцій. У цьому розділі ми розглянемо класичний підхід до побудови інтерполяційних квадратурних формул для наближеного обчислення певного інтеграла
де - позитивна функція така, що.
Визначення 1. Формула
називається квадратурної формулою для наближеного обчислення інтеграла (1) від функції на -ом вузлі з вагами.
Так як за значеннями функції в вузлах квадратурной формули ми можемо побудувати інтерполюються її поліном в формі Лагранжа
де, то природним було б визначити ваги квадратурної формули (2) у вигляді
а саму формулу назвати інтерполяційної квадратурної формулою.
Квадратурна формула (2) називається інтерполяційної квадратурної формулою, якщо її ваги обчислюються за формулою (4).
Практично очевидно, що інтерполяціонная квадратурная формула (2) буде точна (т. Е.), Якщо функція є поліномом ступеня не більше, ніж. І назад, якщо квадратурная формула (2) точна на будь-якому поліномі ступеня, то вона повинна бути інтерполяційної, т. Е. Для її ваг повинна бути справедлива формула (4), що легко перевірити, взявши при будь-якому.
Алгебраїчної ступенем точності квадратурної формули (2) називається ціле число таке, що квадратурная формула точна на всіх поліноми
ступеня і менше.
Теорема 1. Квадратурна формула (2) на вузлі буде інтерполяційної квадратурної формулою тоді і тільки тоді, якщо вона має алгебраїчну ступінь точності.
Теорема 2. Якщо функція, то для різниці інтеграла (1) і його наближення інтерполяційної квадратурної формулою (2) справедлива оцінка
Доведіть цю теорему, використовуючи оцінку для похибки інтерполяції функції і теорему 1.
Квадратури Гауса найвищого алгебраїчного ступеня точності
Отже, на будь-якій системі вузлів інтерполяціонная квадратурная формула (2) точна на лінійному просторі розмірності всіх поліномів ступеня не більше, ніж.
Природним чином виникає питання: а чи не можна за рахунок вибору цих вузлів (параметр) збільшити алгебраїчну точність квадратурної формули?
Квадратурна формула (2) визначається параметрами і можна сподіватися, що їх можна вибрати так, формула буде точна для поліномів ступеня, але не більше.
Теорема 3. Квадратурна формула (2) на вузлі не може мати алгебраїчну ступінь точності.
Доказ (від противного).
Припустимо, що квадратурная формула алгебри ступеня точності існує.
Тоді по теоремі 1 вона є інтерполяційної і точна на - поліномі ступеня, т. Е.. але
, так як (вузли квадратури - корені полінома),
, так як функція майже всюди на.
Отже, отримане протиріччя припущенням доводить теорему.
Теорема 4. Якщо квадратурная формула (2) на вузлі має алгебраїчну ступінь точності, то вона інтерполяціонная, а поліном ортогонален з вагою всім поліномами меншій мірі, т. Е. Визначається умовами:
Нехай квадратурная формула алгебри ступеня точності існує. Тоді по теоремі 1 вона є інтерполяційної.
Так як ступінь полінома, не перевищує, то квадратурная формула (2) точна на ньому і
що й потрібно було довести.
Теорема 5. Якщо поліном ортогонален з вагою всім поліномами меншій мірі, то інтерполяціонная квадратурная формула (2) має алгебраїчну ступінь точності.
Так як квадратурная формула (2) інтерполяціонная, то по теоремі 1 вона точна на поліноми до ступеня.
Довільний поліном ступеня ми можемо представити у вигляді, розділивши на.
так як за умовою теореми поліном ортогонален поліномами меншій мірі, а інтерполяціонная квадратурная формула (2) точна на поліноми ступеня.
З іншого боку,
,що й потрібно було довести.
Таким чином, інтерполяціонная квадратурная формула (2) існує тоді і тільки тоді, коли (теореми 4 і 5) існує поліном, ортогональний з вагою поліномами меншій мірі, з попарно різними країнами з інтервалу.
Теорема 6. Поліном, ортогональний з вагою всім поліномами меншій мірі:
існує, единственен і має простих коренів на, т. е., - вузли квадратури (Гаусса) найвищого алгебраїчного ступеня точності.
Очевидно, що для визначення коефіцієнтів полінома ми маємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь
Для існування і єдиності розв'язання якої необхідне і досить, щоб однорідна система
мала тільки нульове рішення. Припустимо, що однорідна система (6) має рішення. Тоді, помноживши -е рівняння на і склавши результати, отримаємо
звідки випливає, що всі повинні бути рівні нулю.
Залишилося досліджувати коріння полінома.
Припустимо, що всі речові коріння полінома, мають парну кратність,
т. е., де поліном знакоопределен на.
Але, так як, то поліном повинен міняти знак на, що суперечить висновку з припущення про парності всіх коренів з.
Отже, поліном має на корені непарної кратності.
Нехай - корені непарної кратності полінома.
Якщо (), то все коріння попарно різні і теорема доведена.
де поліном знакоопределен на.
Але, так як ступінь полінома менше, то йому ортогонален, т. Е.
звідки випливає, що повинен міняти знак на, що суперечить висновку з припущення про знакоопределенності.
Отже, і теорема доведена.
Теорема 7. Якщо функція, то точність обчислення інтеграла (1) по квадратурної формулою Гаусса (2) на вузлі оцінюється наступним нерівністю:
Доказ залишається як вправа.
Збіжність квадратур Гаусса
Чудовим властивістю квадратур Гаусса є їх збіжність для будь-якої функції (зауважимо, що інтерполяційний поліном до довільної неперервної функції не сходиться).
Теорема 8. Якщо функція, то інтерполяціонная квадратурная формула (2) на вузлі з позитивною вагою сходиться до інтеграла (1) при.
Оскільки, то по теоремі Вейерштрасса існує поліном такий, що
Тоді для інтерполяціонная квадратурная формула (2) на попарно різних вузлах точна на поліномі і
що й потрібно було довести.
Лемма. Ваги квадратури Гауса позитивні.
Квадратура Гаусса (2) точна на поліноми до ступеня і значить вона точна на поліномі ступеня:
Стійкість квадратурних формул
Найчастіше, з тих чи інших причин, значення інтегрованої функції в вузлах задані з похибкою:.
якщо квадратура точна на константі і її ваги позитивні.
Звідси випливає, що малі зміни інтегрованої функції мало змінюють наближене значення інтеграла незалежно від числа квадратурних вузлів.
Приклади квадратурних формул
У цьому розділі для наближеного обчислення певного інтеграла
1. ми побудуємо приклади інтерполяційних квадратурних формул
на -ом вузлі з вагами
2. знайдемо їх алгебраїчну ступінь точності: для цього необхідно і достатньо знайти максимальне ціле таке, що
3. конкретизуємо оцінку похибки інтерполяційної квадратури на -ом вузлі алгебраїчної ступеня точності: