Контурні ІНТЕГРАЛ - інтеграл, в к-ром інтегрування проводиться по контуру (кривої) в n-мірному комплексному або матеріальному просторі. Розрізняють два типи К. і.- інтеграли від скалярних ф-ций і інтеграли від векторних ф-ций. До першого з них відносяться інтеграли виду. де - гладкий (або кусочно гладкий) контур в n-мірному матеріальному просторі, Р = (х1. хn) - точка в цьому просторі, f (P) - ф-ція, задана на, ds - елемент довжини. Якщо контур заданий параметрично ур-нями x1 = x1 (t). xn = xn (t). де параметр t змінюється в межах від а до b (а
До К. і. цього типу зводяться знаходження довжини кривої, обчислення маси матеріальної кривої по її щільності, знаходження її центру інерції і т. д.
До К. і. другого типу відносяться інтеграли виду
де f1 (Р). fn (Р) - п ф-ций, заданих на контурі. Якщо, як і вище, контур g заданий параметрично, то
Значення інтегралів у правій здебільшого не залежать від вибору параметризації контуру, що зберігає напрямок його обходу. При зміні напрямку обходу К. і. другого типу (на відміну від К. і. першого типу) змінює знак. До таких К. і. зводиться задача про обчислення роботи силового поля при переміщенні точки вздовж кривої. Якщо контур замкнутий, то К. і. другого типу зводиться до інтеграла по двовимірної поверхні, натягнутої на цей контур (див. Гріна формули, Гаусса - Остроградського формула, Стокса формула).
Важливу роль К. і. другого типу відіграють в теорії аналітичних функцій. Нехай z = х + iy. f (z) = = і (х, y) + i (x, у) - комплекснозначная ф-ція, задана на контурі, тоді по визначенню
У термінах інтегралів виду формулюється
Коші теорема, визначається Кошіінтеграл. на їх властивості заснована теорія відрахувань і т. д.