Нехай $ \ overrightarrow $ - будь-який вектор на площині хОу. Тоді вектор $ \ overrightarrow $ можна представити у вигляді $$ \ overrightarrow = x \ overrightarrow + y \ overrightarrow \, \, \, (1) $$ і притому єдиним чином.
Якщо вектор $ \ overrightarrow $ представлений у вигляді $ \ overrightarrow = x \ overrightarrow + у \ overrightarrow $. то кажуть, що $ \ overrightarrow $ розкладений по векторах $ \ overrightarrow \, і \, \ overrightarrow $. Вектори $ \ overrightarrow_х = x \ overrightarrow \, і \, \ overrightarrow_у = у \ overrightarrow $ називають складовими вектора $ \ overrightarrow $ по осях Ох і Оу. Коефіцієнти х і у розкладання вектора $ \ overrightarrow $ за одиничними векторами $ \ overrightarrow \, і \, \ overrightarrow $ називають координатами вектора $ \ overrightarrow $ в даній системі координат і записують $ \ overrightarrow \\ text | \ overrightarrow | = \ Sqrt $.
З єдиності подання (1) випливає, що рівні вектори мають рівні відповідні координати, і назад, якщо у векторів відповідні координати рівні, то вектори рівні.
Нехай дана точка М (х; у). Тоді $ \ overrightarrow = \ overrightarrow = x \ overrightarrow + y \ overrightarrow $. де х і у - координати точки М, тобто $ \ Overrightarrow \, | \ overrightarrow | = \ Sqrt $.
Теорема 1. Кожна координата суми векторів $ \ overrightarrow \, і \, \ overrightarrow $ дорівнює сумі відповідних координат цих векторів; кожна координата добутку вектора $ \ overrightarrow $ на число k дорівнює добутку відповідної координати цього вектора на число k.
Доведення. Нехай $ \ overrightarrow = x_1 \ overrightarrow + _1 \ overrightarrow \, \ ,, \, \ overrightarrow = x_2 \ overrightarrow + y_2 \ overrightarrow $.
Користуючись властивостями додавання векторів і множення вектора на число, отримаємо $ \ overrightarrow + \ overrightarrow = (x_1 \ overrightarrow + y_1 \ overrightarrow) + (x_2 \ overrightarrow + y_2 \ overrightarrow) = (x_1 + x_2) \ overrightarrow + (y_1 + y_2 ) \ overrightarrow $.
Аналогічно доводиться: $ k \ overrightarrow = K (x_1 \ overrightarrow + y_1 \ overrightarrow) = (k x_1) \ overrightarrow + (k y_1) \ overrightarrow $.
Значить, координати вектора $ \ overrightarrow + \ overrightarrow $ рівні $ х_1 + х_2 $ і $ у_1 + у_2 $. координати вектора $ k \ overrightarrow $ рівні $ kx_1 \, і \, ky_1 $. Теорема доведена.
Слідство 1. Координати вектора $ \ overrightarrow $. заданого двома точками $ А (х_1; у_1) \, і \, В (х_2; у_2) $. рівні різницям відповідних координат точок А і В.
Доведення. Маємо $ \ overrightarrow = \ overrightarrow - \ overrightarrow $ (рис.2).