Визначення. Нехай - лінійний оператор конечномерного простору. - його власне значення. Вектор називається кореневим вектором оператора. якщо для деякого. Мінімальний показник для даного вектора називається висотою вектора.
Теорема. Безліч всіх кореневих векторів лінійного оператора. що відповідають власному значенню. є подпространством в. яке інваріантної відносно.
Лемма. Нехай. . - такі многочлени, що (їх найбільший спільний дільник дорівнює). Нехай - лінійний оператор в вимірному векторному просторі. . . . Тоді.
Теорема. Якщо характеристичний многочлен лінійного оператора розкладається на лінійні множники, тобто . то.
Визначення. Оператор називається нильпотентною. якщо для деякого.
Теорема. Нехай - кореневе підпростір оператора. Розглянемо оператор. заданий за формулою. тоді
для будь-якого кореневого вектора висоти оператора вектори лінійно незалежні;
оператор є нильпотентною.
Визначення. Нехай - нильпотентною оператор на лінійному просторі і. Циклічним подпространством оператора. породженим вектором. називається підпростір.
Зауваження. Підпростір інваріантної відносно. так як .
Теорема. Якщо - циклічне простір для нильпотентною оператора. то в деякому базисі оператор має матрицю
Теорема. Якщо - нильпотентною оператор на вимірному просторі. то простір розкладається в пряму суму декількох циклічних підпросторів для оператора.