Ядро лінійного перетворення назвемо кореневих подпространством висоти k і позначимо через. Кореневе підпростір відмінно від нульового вектора, тільки якщо є коренем характеристичного многочлена. Лінійне простір над полем комплексних чисел розщеплюється в пряму суму кореневих підпросторів (Слідство 1.6). Надалі, розглянемо можливість подальшого розщеплення кореневих підпросторів в пряму суму інваріантних підпросторів. Будемо говорити, що вектор має висоту k. якщо. Наведемо ряд властивостей кореневих підпросторів.
Властивість 1.5. Якщо. то.
Доведення. Якщо. то. і, отже. що рівносильно включенню. Тим самим встановлено включення. об'єднавши яке зі зворотним включенням (Властивість 1.4) виводимо необхідну твердження.
Мінімальний анулює многочлен кореневого простору є дільником многочлена. і, отже, дорівнює. де. З визначення кореневого підпростори випливає рівність.
Властивість 1.6. Якщо розмірність кореневого підпростори дорівнює ступеня мінімального многочлена цього підпростору, то кореневе підпростір НЕ представимо у вигляді прямої суми інваріантних підпросторів менших розмірностей.
Доведення. Нехай k - ступінь мінімального многочлена кореневого підпростори і кореневе підпростір представляється у вигляді прямої суми інваріантних підпросторів менших розмірностей. Нехай - базис. а базис. Система векторів є базисом і, отже, мінімальний анулює многочлен простору дорівнює найменшого спільного кратного мінімальних анулюють многочленів цих векторів. Отже, серед векторів знайдеться такий вектор, мінімальний анулює многочлен якого дорівнює. Не порушуючи спільності можна вважати, що це вектор. Система векторів лінійно незалежна і належить в силу інваріантності підпростору. Оскільки в побудованій системі k векторів, то співвідношення не менше k. що суперечить допущенню.