Кореневе підпростір - це

Червоним кольором позначено власний вектор. Він, на відміну від синього, при деформації не змінив напрямок і довжину, тому є власним вектором. відповідним власному значенню λ = 1. Будь-який вектор, паралельний червоному вектору, також буде власним, відповідним тому ж власному значенню. Безліч всіх таких векторів (разом з нульовим) утворює власне підпростір.

Визначення власного числа, власного і кореневого вектора лінійного оператора

Нехай L - лінійний простір над полем K. - лінійне перетворення.

Власним вектором лінійного перетворення A називається такий ненульовий вектор, що для деякого

Власним значенням лінійного перетворення A називається таке число, для якого існує власний вектор, тобто рівняння Ax = λx має нульове рішення.

Власним подпространством лінійного перетворення A для даного власного числа називається безліч всіх власних векторів, що відповідають даному власному числу (доповнене нульовим вектором). Позначимо його Eλ. За визначенням,

де E - одиничний оператор.

Кореневим вектором лінійного перетворення A для даного власного значення називається такий ненульовий вектор, що для деякого натурального числа m

Якщо m є найменшим з таких натуральних чисел (тобто), то m називається висотою кореневого вектора x.

Кореневим подпространством лінійного перетворення A для даного власного числа називається безліч всіх кореневих векторів, відповідних даному власному числу (доповнене нульовим вектором). Позначимо його Vλ. За визначенням,

Властивості власних значень, власних і кореневих векторів і просторів

Загальний випадок

Підпростір називається інваріантним подпространством лінійного перетворення A (A -інваріантним подпространством), якщо

Власні підпростори Eλ. кореневі підпростори Vλ і підпростору Vm, λ лінійного оператора A є A -інваріантнимі.

Власні вектори є кореневими (висоти 1):;

Кореневі вектори можуть не бути власними: наприклад, для перетворення двовимірного простору, заданого матрицею

(A - 1) 2 = 0. і всі вектори є кореневими, відповідними власному числу 1, але A має єдиний власний вектор (з точністю до множення на число).

Для різних власних значень кореневі (і, отже, власні) підпростору мають тривіальне (нульове) перетин:

якщо.

Скінченновимірні лінійні простори

Вибравши базис в n-мірному лінійному просторі L. можна зіставити лінійному перетворенню квадратну матрицю і визначити для неї характеристичний многочлен

Характеристичний многочлен не залежить від базису в L. Його коефіцієнти є інваріантами оператора A. Зокрема,, що не залежать від вибору базису.
Власні значення, і тільки вони, є корінням характеристичного многочлена матриці.
Кількість різних власних значень не може перевищувати розмір матриці.

Нехай числове поле алгебраїчно замкнуто (наприклад, є полем комплексних чисел). Тоді характеристичний многочлен розкладається в добуток n лінійних множників

де - власні значення; деякі з λi можуть бути рівні. Кратність власного значення λi - це число множників рівних λ - λi в розкладанні характеристичного многочлена на лінійні множники (називається також алгебраїчна кратність власного значення).

Розмірність кореневого простору дорівнює кратності власного значення.
Векторний простір L розкладається в пряму суму кореневих підпросторів (по теоремі про жорданової формі):

де підсумовування проводиться по всіх λi - власним числам A.

Геометрична кратність власного значення λi - це розмірність відповідного власного підпростору; геометрична кратність власного значення не перевершує його кратності, оскільки

Гільбертові простору над полем комплексних чисел і нормальні оператори

Наявність скалярного твори дозволяє виділити важливі класи операторів, власні значення і власні вектори яких мають ряд додаткових корисних властивостей.

Нормальним оператором називається оператор A. коммутирующий зі своїм зв'язаних A *:

Приватними класами нормальних операторів є самосопряженних (ермітовим) оператори (A = A *), антіермітови оператори (A = - A *) і унітарні оператори (A - 1 = A *), а також їх речові варіанти: симетричні оператори, антисиметричні оператори і ортогональні перетворення.

Всі кореневі вектори нормального оператора є власними.

Власні вектори нормального оператора A. відповідають різним власним значенням, ортогональні. Тобто якщо Ax = λx. Ay = μy і, то (x, y) = 0. (Для довільного оператора це невірно.)

Всі власні значення самосопряженних оператора є речовими.

Всі власні значення антіермітового оператора є уявними.

Всі власні значення унітарного оператора лежать на одиничному колі | λ | = 1.

У скінченномірному випадку. сума розмірностей власних підпросторів нормального оператора, які відповідають усім власним значенням, дорівнює розмірності матриці, а векторний простір розкладається в ортогональну суму власних підпросторів:

де підсумовування проводиться по всіх λi - власним числам A. а взаємно ортогональні для різних λi.

Остання властивість для нормального оператора над є характеристичним: оператор нормальний тоді і тільки тоді, коли його матриця має діагональний вигляд в якомусь ортонормированном базисі (в скінченномірному випадку).

позитивні матриці

Квадратна речова матриця A = (aij) називається позитивною, якщо всі її елементи позитивні: aij> 0.

Теорема Перрона (окремий випадок теореми Перрона-Фробеніуса): Позитивна квадратна матриця A має позитивне власне значення r. яке має алгебраїчну кратність 1 і строго перевершує абсолютну величину будь-якого іншого власного значення цієї матриці. Своїм значенням r відповідає власний вектор er. всі координати якого суворо позитивні. Вектор er - єдиний власний вектор A (з точністю до множення на число), що має невід'ємні координати.

Власний вектор er може бути обчислений за допомогою прямих ітерацій. виберемо довільний початковий вектор v0 з позитивними координатами. покладемо:

Послідовність vk сходиться до нормованого власному вектору.

Інша область застосування методу прямих ітерацій - пошук власних векторів позитивно певних симетричних операторів.

література

Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. - М. Наука, 1966. - 576 с.
Вілкінсон Д. Х. Алгебраїчна проблема власних значень. - М. Наука, 1970. - 564 с.