Косинус суми і різниці двох кутів
У цьому параграфі будуть доведені наступні дві формули:
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β, (1)
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β. (2)
Косинус суми (різниці) двох кутів дорівнює добутку косинусів цих кутів мінус (плюс) твір синусів цих кутів.
Нам зручніше буде почати з докази формули (2). Для простоти викладу припустимо спочатку, що кути α і β задовольняють таким умовам:
1) кожен з цих кутів неотрицателен і менше 2π:
Нехай позитивна частина осі 0х є загальною початковою стороною кутів α і β.
Кінцеві боку цих кутів позначимо відповідно через 0А і 0В. Очевидно, що кут α - β можна розглядати як такий кут, на який потрібно повернути промінь 0В навколо точки 0 проти годинникової стрілки, щоб його напрямок співпало з напрямком променя 0А.
На променях 0А і 0В відзначимо точки М і N, віддалені від початку координат 0 на відстані 1, так що 0М = 0N = 1.
В системі координат х0у точка М має координати (cos α, sin α), а точка N - координати (cos β. Sin β). Тому квадрат відстані між ними дорівнює:
d1 2 = (cos α - cos β) 2 + (sin α - sin β) 2 = cos 2 α - 2 cos α cos β +
+ cos 2 β + sin 2 α - 2sin α sin β + sin 2 β = 2 (1 - cos α cos β - sin α sin β).
При обчисленнях ми скористалися тотожністю
sin 2 φ + cos 2 φ = 1.
Тепер розглянемо іншу систему координат В0С, яка виходить шляхом повороту осей 0х і 0у навколо точки 0 проти годинникової стрілки на кут β.
У цій системі координат точка М має координати (cos (α - β), sin (α - β)), а точка N -коордінати (1,0). Тому квадрат відстані між ними дорівнює:
d2 2 = [cos (α - β) - 1] 2 + [sin (α - β) - 0] 2 = cos 2 (α - β) - 2 cos (α - β) + 1 +
+ sin 2 (α - β) = 2 [1 cos (α - β)].
Але відстань між точками М і N не залежить від того, щодо якої системи координат ми розглядаємо ці точки. Тому
2 (1 - cos α cos β - sin α sin β) = 2 [1 cos (α - β)].
Звідси і випливає формула (2).
Тепер слід згадати про тих двох обмеженнях, які ми наклали для простоти викладу на кути α і β.
Вимога, щоб кожен з кутів α і β був невід'ємним, насправді не суттєво. Адже до будь-якого з цих кутів можна додати кут, кратний 2а, що ніяк не відіб'ється на справедливості формули (2). Точно так же від кожного з даних кутів можна відняти кут, кратний 2π. Тому можна вважати, що 0 <α <2π. 0 <β <2π .
Чи не істотним виявляється і умова α> β. Дійсно, якщо α <β. то β>α; тому, з огляду на парність функції cos х. отримуємо:
cos (α - β) = cos (β - α) = cos β cos α + sin β sin α,
що по суті збігається з формулою (2). Таким чином, формула
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
вірна для будь-яких кутів α і β. Зокрема, замінюючи в ній β на -β і враховуючи, що функція cosх є парною, а функція sinх непарній, отримуємо:
cos (α + β) = cos [α - (- β)] = cos α cos (-β) + sin α sin (-β) =
= Cos α cos β - sin α sin β,
що доводить формулу (1).
Отже, формули (1) і (2) доведені.
1) cos 75 ° = cos (30 ° + 45 °) = cos 30 ° • cos 45 ° -sin 30 ° -sin 45 ° =
2) cos 15 ° = cos (45 ° - 30 °) = cos 45 ° • cos 30 ° + sin 45 ° • sin 30 ° =
1. Обчислити, не користуючись тригонометричними таблицями:
a) cos 17 ° • cos 43 ° - sin 17 ° • sin 43 °;
б) sin 3 ° • sin 42 ° - cos 39 ° • cos 42 °;
в) cos 29 ° • cos 74 ° + sin 29 ° • sin 74 °;
г) sin 97 ° • sin 37 ° + cos 37 ° • cos 97 °;
б). cos (36 ° + α) • cos (24 ° - α) + sin (36 ° + α) • sin (α - 24 °).
г) cos 2α + tg α • sin 2α.
a) cos (α - β). якщо
90 ° <α <180°, 180° <β <270°;
4. Знайти cos (α + β) і cos (α - β), якщо відомо, що sin α = 7/25. cos β = - 5/13 і обидва кута (α і β) закінчуються в одній і тій же чверті.
в). cos [arctg 1/2 + arccos (- 2)]