Крутіння прямого круглого бруса

Лекція. Кручення. Крутіння бруса некруглого перетину.

Деформація кручення викликається парами сил, площини дії яких перпендикулярні до осі стержня. Тому при крученні в довільному поперечному перерізі стержня з шести внутрішніх силових факторів виникає тільки один - крутний момент. Як показують досліди, поперечні перерізи при крученні повертаються одне відносно іншого навколо осі стрижня, при цьому довжина не змінюється.

Стрижні, які працюють на кручення, зазвичай називають валами.

Розглядаючи крутіння вала, легко встановити, що під дією скручує моменту будь-який перетин на відстані від закладення повертається щодо закріпленого перетину на деякий кут - кут закручування (Рис. 5.1). При цьому чим більше скручує момент. тим більше і кут закручування. Залежності. звані діаграмами крутіння, отримані для зразка з пластичного матеріалу, до деякої міри подібні діаграм розтягування (Рис. 5.2). Надалі при виведенні формул для напружень і кута закручування нас буде цікавити ділянку діаграми крутіння, відповідний роботі матеріалу в межах пропорційності.

Розглянемо геометричну картину деформації вала при крученні.

Якщо до деформації на поверхню вала нанести сітку, що складається з ліній, паралельних осі, і ліній, що представляють собою паралельні кола, то після закручування вала скручують моментом можна помітити наступне: що утворюють циліндра перетворюються в гвинтові лінії, паралельні кола не викривляються і відстань між ними залишається незмінним, радіуси, проведені в торцевих перетинах залишаються прямими (Рис. 5.3). Вважаючи, що картина, яка спостерігається на поверхні вала, зберігається і всередині, сформулюємо гіпотези. взяті в основу теорії крутіння круглих стрижнів:

1. Поперечні перерізи, плоскі і нормальні до осі вала до деформації, залишаються плоскими і нормальними до тієї ж осі і після деформації.

2. Прямолінійний вісь вала залишається прямолінійною і після деформації, а все поперечним перерізом повертаються навколо цієї осі по відношенню один до одного на якийсь кут. 3. Радіуси поперечних перерізів при деформації не викривляються. 4. Відстані між перетинами вала в процесі деформації не змінюються, отже, і вся довжина вала залишається колишньою.

На підставі прийнятих гіпотез кручення круглого вала можна уявити як результат зрушень, викликаних взаємним поворотом поперечних перерізів відносно один одного. Внаслідок цього в поперечних перетинах виникають тільки дотичні напруження, а нормальні напруження дорівнюють нулю.

Виділимо з закручується вала диск радіуса на відстані від закріпленого кінця, обмежений двома суміжними перетинами і. знаходяться один від одного на відстані (Рис. 5.1) і розглянемо його окремо (Рис. 5.4)

Якщо перетин. лежить на відстані від защемленного кінця вала, повернулося щодо останнього на кут. то перетин. що знаходиться на відстані. повернеться щодо закріпленого кінця на кут. Точки і до деформації лежать на одній що утворює, після деформації розташуються на гвинтовий лінії і займуть нове положення і.

Проведемо від точки пряму. паралельну і з'єднаємо центр перетину з точкою. Тоді кут. рівний. буде кутом повороту перерізу відносно перетину. У елемента до повороту перетину щодо перетину верхня і нижня сторони були розташовані горизонтально. Після повороту боку нахилилися і прийняли положення та. Отже, елемент зазнав абсолютний зсув, рівний довжині дуги:

Відносний зсув буде дорівнює:

Ставлення представляє відносний кут закручування (кут закручування на одиницю довжини бруса). тоді

З цієї формули видно, що відносний зсув пропорційний радіусу закручувати циліндричного тіла.

На підставі закону Гука для зсуву

Можна визначити дотичне напруження для елементів лежать на поверхні вала

З огляду на припущення, що деформація елементів на поверхні вала подібна деформації елементів всередині валу, для довільного елемента, що знаходиться на відстані від центру поперечного перерізу (рис 5.5)

(5.4) (5.5) Дотична елементарна сила на майданчику розташованої на відстані від осі вала Момент елементарної сили щодо осі бруса буде:

Сума таких елементарних моментів, розподілених по всьому поперечним перерізом. при рівновазі, наступаючому після деформації, повинна дорівнювати крутним моментом:

Винесемо постійні за знак інтеграла, одержимо

Інтеграл є полярним моментом інерції (лекція 2, вираз (2.9)). тоді

Звідки відносний кут закручування

Підставляючи у вираз (5.5) вираз відносного кута закручування одержимо

Це рівняння показує, що напруги в майданчиках перетину прямо пропорційні їх відстаням до центру перетину.

При розрахунку на міцність при крученні необхідно знати максимальні напруги для порівняння їх з допустимими напруженнями. Очевидно, що максимальні напруги при крученні круглого вала матимуть точки максимально віддалені від осі вала. Т. е. Точки з полярної координатою, що дорівнює радіусу перетину вала

Ставлення полярного моменту інерції до найбільшого радіусу перетину називається полярним моментом опору

Тоді умова міцності при крученні матиме такий вигляд

Для суцільного круглого перетину

Крім розрахунку на міцність вали розраховують і на жорсткість, обмежуючи відносний кут закручування деякої допустимої величиною: