При розгляді вигину зігнутість доводиться представляти кривої більш високих порядків. У цьому випадку часто застосовують кубічні сплайн функції, коли функція інтерполюється на кожному елементарному відрізку кубічним многочленом. На відрізку осі Ox задамо рівномірну сітку з кроком. в вузлах задамо значення функції. визначеної на відрізку.
Усередині кожного елементарного відрізка замінимо функцію функцією. задовольняє таким умовам:
1. неперервна на разом зі своїми похідними першого і другого порядка;
2. на кожному відрізку є кубічним многочленом:
3. в вузлах сітки виконується рівність;
4. задовольняє граничним умовам.
Потрібно знайти четвірку невідомих коефіцієнтів для всіх Можна довести, що завдання знаходження кубічного сплайна має єдине рішення.
Вимагатимемо виконання третьої умови, збіги значень функції у вузлах з табличними значеннями;
Число отриманих рівнянь 2n в два рази менше числа невідомих коефіцієнтів. Для складання залишилися рівнянь скористаємося першою умовою про безперервність похідних сплайна в усіх точках. Прирівняємо ліві і праві похідні у внутрішньому вузлі xk. обчисливши попередньо вираз для похідних послідовним диференціюванням (6.1)
Знайдемо праві і ліві похідні в вузлі:
Прирівнявши ліві і праві похідні, одержимо для:
Рівняння (6.6) дають ще 2 (n -1) умов. Для одержання відсутніх рівнянь накладають вимоги до поведінки сплайна на кінцях відрізка. При нульовій кривизні, коли друга похідна дорівнює нулю, наприклад, отримаємо:
Виключивши з рівнянь (6.2) - (6.6) невідомі ak. отримаємо систему з 3n рівнянь:
Вирішивши цю систему, ми знайдемо значення невідомих ak, bk, ck визначають сукупність формул для шуканого интерполяционного сплайна
Для обчислення коефіцієнтів сплайнів в Mathcad призначені функції, які повертають масив коефіцієнтів:
В усіх цих функціях х-масив абсцис. а y- масив ординат експериментальних точок. Після обчислення коефіцієнтів сплайнів можна обчислити значення інтерполяційного полінома в конкретній точці t, звернувшись до функції interp (x, U, P, t), де х-масив коефіцієнтів сплайнів
Приклад 6.1 В результаті випробування холостого ходу визначена таблиця залежності споживаної з мережі потужності P від вихідної напруги U для асинхронного двигуна. Побудувати графік інтерполяційної залежності. При вирішенні скористаємося вбудованими функціями сплайновой апроксимації в Mathcad
Побудуємо графіки цих функцій.