Квазігруппа (математика)

Визначення та властивості

Квазігруппой називають пару (Q. *) з безлічі Q з бінарною операцією *: Q × Q → Q. задовольняє наступній умові: для будь-яких елементів a і b з Q знайдуться єдині елементи x та y з Q. такі що

Рішення цих рівнянь іноді записують так:

Операції \ і / називають лівим розподілом і правим поділом.

Квазігруппа з одиницею називають також лупою (від англ. Loop - петля).

Якщо між елементами двох квазігрупп Q і R можна встановити біекція (тобто вони збігаються як безлічі), говорять, що Q і R мають однаковий порядок. Якщо при цьому існують перестановки A, B, C, діючі на елементах цих квазігрупп, такі що

(Тут (,) і [.] - операції в Q і R відповідно), то такі квазігруппи називають ізотопними.

Для будь-якої квазігруппи існує лупа, якою вона ізотопно. Якщо ж лупа ізотопно групі, то ця лупа є групою. У більш загальному випадку: якщо півгрупа ізотопно лупі, то вони ізоморфні і обидві ізоморфні певної групи. Ізотопія, в деякому сенсі, еквівалентна ізоморфізму груп, але існують квазігруппи ізотопні, але не ізоморфні групам.

  • Будь-яка група є також і квазігруппой, так як a * x = b \ Leftrightarrow x = a -1 * b. y * a = b \ Leftrightarrow y = b * a -1.
  • Цілі числа (\ mathbb) З операцією віднімання (-) є квазігруппой.
  • Ненульові раціональні числа \ mathbb (Або речові - \ mathbb) З операцією ділення (÷) є квазігруппой.
  • Безліч де ii = jj = kk = +1 і всі інші твори визначаються також, як в кватерніонів є квазігруппой з одиницею (лупою).
  • Будь-яке векторне простір над полем дійсних чисел відносно операції x * y = (x + y) / 2 утворює структуру Ідемпотентний. комутативній квазігруппи.

Примітки

література

Схожі статті