Визначення 1. Якщо многочлен f (x) звертається в нуль при підстановці в нього числа з замість невідомого, то з називається коренем многочлена f (x) (або рівняння f (x) = 0).
Число 1 є коренем f (x), а число 2 не є коренем f (x), так як f (1) = 1 5 + 2 # 8729; 1 3 -3 # 8729; 1 = 0, а f (2) = 2 5 + 2 # 8729; 2 3 -3 # 8729; 2 = 42 ≠ 0.
Виявляється, коріння многочлена пов'язані з його дільниками.
Число з тоді і тільки тоді є коренем многочлена f (x), коли f (х) ділиться на х-с.
Визначення 2. Якщо з - корінь многочлена f (х), то f (х) ділиться на х-с. Тоді знайдеться натуральне число k, що f (х) ділиться на (х-с) k. але не ділиться на (х-с) k + 1. Таке число k називається кратністю кореня з многочлена f (х), а сам корінь з - k-кратним коренем цього многочлена. Якщо k = 1, то корінь з називають простим.
Для знаходження кратності k кореня з многочлена f (х) застосовують теорему:
Якщо число з є k-кратним коренем многочлена f (х), то при k> 1 воно буде (k-1) -кратноє коренем першої похідної цього многочлена; якщо ж k = 1, то з не служитиме коренем для f '(х).
Слідство. k-кратний корінь многочлена f (х) вперше не буде служити коренем для k-й похідної.
Приклад 2. Переконатися, що число 2 є коренем многочлена f (х) = х 4 -4х 3 + 16х-16. Визначити його кратність.
Рішення. Число 2 є коренем f (х), так як 2 4 -4 # 8729; 2 3+ 16 # 8729; 2-16 = 0.
f '(x) = 4x 3 -12x 2 +16, f' (2) = 4 # 8729; 2 3 -12 # 8729; 2 2 + 16 = 0;
f '' (x) = 12x 2 -24x, f '' (2) = 12 # 8729; 2 2 -24 # 8729; 2 = 0;
f '' '(x) = 24x-24, f' '' (2) = 24 # 8729; 2-24 ≠ 0.
Число 2 вперше не є коренем f '' '(х), тому число 2 є триразовим коренем многочлена f (х).
Нехай дано многочлен f (х) ступеня n≥1 зі старшим коефіцієнтом 1: f (х) = х n + a1 x n -1 + ... + an-1 x + an і # 945; 1. # 945; n - його коріння. Коріння многочлена і його коефіцієнти пов'язані формулами, які називають формулами Вієта:
Теорема Вієта полегшують написання многочлена по заданих його коріння.
Приклад 3. Знайти многочлен, який має прості корені 2; 3 і дворазовий корінь -1.
Рішення. Знайдемо коефіцієнти многочлена:
Шуканий многочлен є х 4 -3х 3 -3х 2 -7х + 6.
Визначення 3. Многочлен f (х)ÌР [x] ступеня n наводимо над полем Р, якщо він може бути розкладений на витвір двох множників # 966; (х) і # 968; (х) з Р [x], ступеня яких менше n:
f (x)ÎP [x] називають непріводімим над полем Р, якщо в будь-якому його розкладанні на множники з Р [x] один з множників має ступінь 0, інший - ступінь n.
Трапляються такі теореми:
Всякий многочлен ненульовий ступеня f (х) з кільця Р [x] розкладається в добуток незвідних множників з Р [x] однозначно з точністю до множників нульової ступеня.
Звідси легко слід, що для будь-якого многочлена f (х)ÎР [x] ступеня n, n≥1, існує наступне розкладання на Непріводімие множники:
де - многочлени з P [x] зі старшими коефіцієнтами, рівними одиниці. Таке розкладання для многочлена однозначно.
Непріводімие множники, що входять в таке розкладання, не зобов'язані бути все різними. Якщо не приводиться многочлен зустрічається рівно k раз в розкладанні (2), то він називається k-кратним множником многочлена f (х) .Якщо множник Р (х) входить в цей розклад тільки один раз, то він називається простим множником для f (х) .
Якщо в розкладанні (2) однакові множники зібрати разом, то це розкладання можна записати в наступному вигляді:
де множники Р1 (х), ..., Рr (x) вже все різні. Показники k1, ..., kr тут рівні кратності відповідних множників. Розкладання (3) можна записати у вигляді:
де F1 (x) - твір всіх простих непріводімих множників, - твір всіх дворазових непріводімих множників і т.д. в розкладанні (3). Якщо в розкладанні (3) немає m-кратних множників, то множник вважається рівним одиниці.
Багаточлени F1 (x), ..., Fs (x) для многочлена f (x) над числовими полями можна знайти, користуючись поняттям похідної, алгоритмом Евкліда з формульованої раніше теореми (про зв'язок з похідною) наступним чином:
Таким чином, для многочлена f (x) ми можемо знайти множники.
Якщо для многочлена f (x) треба знайти множники F1 (x), ..., Fs (x) його розкладання (4), то говорять, що треба відокремити його кратні множники.
Приклад 4. Відокремити кратні множники f (x) = х 5 х 4 -5х 3 + х 2 + 8х + 4.
Рішення. Знаходимо НСД f (x) і f '(x) = 5x 4 -4x 3 -15x 2 + 2x + 8.