Екстремальні точки. Найбільше і найменше значення функції
Визначення безлічі значень функції (min, max функції, найбільше, найменше значення, екстремуми)
- Точка x0 називається точкою максимуму функції f (x), якщо існує така околиця точки x0. що для всіх x ≠ x0 з цієї околиці виконується нерівність f (x)
- Точка x0 називається точкою мінімуму функції f (x), якщо існує така околиця точки x0. що для всіх x ≠ x0 з цієї околиці виконується нерівність f (x)> f (x0).
- Точки мінімуму і точки максимуму називаються точками екстремуму.
Теорема. Якщо x0 - точка екстремуму диференційованої функції f (x), то f '(x0) = 0.
- Точки, в яких функція має похідну, рівну нулю, або недіфференціруемого (не має похідної), називають критичними точками.
Точки, в яких похідна дорівнює 0, називають стаціонарними.
Геометричний сенс: дотична до графіка функції y = f (x) в екстремальній точці паралельна осі абсцис (OX), і тому її кутовий коефіцієнт дорівнює 0 (k = tg α = 0).
Теорема: Нехай функція f (x) диференційована на інтервалі (a; b), x0 С (a; b), і f '(x0) = 0. тоді:
1) Якщо при переході через стаціонарну точку x0 функції f (x) її похідна змінює знак з «плюса» на «мінус», то x0 - точка максимуму.
2) Якщо при переході через стаціонарну точку x0 функції f (x) її похідна змінює знак з «мінуса» на «плюс». то x0 - точка мінімуму.
ПРАВИЛО знаходження найбільшого і найменшого значення функції f (x)
1. Знайти прізводную функції і прирівняти нулю. Знайти критичні точки.
2. Знайти значення функції на кінцях відрізка, тобто числа f (a) і f (b).
3. Знайти значення функції в тих критичних точках, які належать [a; b].
4. Із знайдених значень вибрати найбільше і найменше.
ПРАВИЛО знаходження мінімуму і максимуму функції f (x)
1. Знайти критичні точки f (x) (в яких f '(x) = 0 або f (x) не існує).
2. Нанести їх на числову пряму (тільки ті, які належать (a, b)).
f '(x) + - +
a _________ x0 ____________ x1 ______________ b
3. Розставити знаки похідної в рядку f '(x). розставити стрілки в рядку f (x).