Елементи квантової статистики
Квантова та статистична ймовірності. Поняття ймовірності однаково широко застосовується і в статистичній фізиці і в квантової меха-ніку, проте сенс ймовірності в цих розділах фізики істотно відрізняючи-ється. Якщо ми розглянемо хвилю де Бройля, падаючу на екран, то вона описи-кість рух електрона з певним імпульсом, але з невизначеною координатою. Такий електрон з однаковою ймовірністю може потрапити в будь-яку точку екрану. До попадання на екран навіть у окремого електрона не було певної координати.
У класичній статистиці, навпаки, ми маємо велике число однакових часток - атомів або молекул, кожна з яких в даний момент часу знаходиться в строго визначеному місці і рухається з певною швидкістю. Тут ймовірність виникає в результаті того, що ми розглядаємо макроскопічні властивості великих систем, в яких деталі руху окремих атомів і молекул були несуттєві. Тим самим можна ввести, наприклад, розподіл часток за швидкостями і говорити про частки частинок зі швидкостями в зазначеному інтервалі. Якщо ми маємо справу з ансамблем мікрочастинок, то при його описі необхідно враховувати статистичні властивості пов'язані і з їх квантовим поведінкою, і з тією обставиною, що ми маємо велике число однакових часток.
Найпростіше формулювати і вирішувати завдання статистичної фізики в термінах фазового простору. з окремим випадком якого - фазової пло-кісткою. ми вже зустрічалися при вивченні нелінійних коливань і автоколивань. У загальному випадку фазовим простором системи з s ступенями свободи називається простір, на координатних осях якого відкладені значення s координат qi і s імпульсів pi системи. Таким чином, розмірність фа-ного простору дорівнює 2s. Твір координат фазового простору називається фазовим об'ємом. Кожному стану системи со-відповідає оп-ределенном точка фазового простору (фазова точка), а изме-ня стану системи в часі описується фазової траєкторією. В клас-сических фізики положення фазового точки можна вказати як завгодно точно.
У квантовій механіці принцип невизначеності накла-дивать ог-зпечних на точність визначення фазових координат. Про фазової точці можна лише сказати, що вона знаходиться в елементарній комірці фазового простору об'ємом
Таким чином, число квантових станів g. містяться в фазовому обсязі , є
Квантові ідеальні гази. Вивчення статистичних властивостей природно почати з ідеальних газів - найпростіших систем невзаимодействующих частинок. Кожна з N частинок ідеального газу має 3 ступеня свободи. Тому розмірність фазового простору такого газу дорівнює 6N. При цьому фазовий простір ідеального газу розбивається на незалежні подпростраства - координатне та імпульсна, розмірністю 3N кожне. Імовірність виявити частинку ідеального газу в будь-якій точці його обсягу однакова, внаслідок чого всі фазові осередку координатного подпростраства заповнені однаково.
Обчислимо середнє число часток, що володіють певним значенням імпульсу pi або енергії Ei. ця величина
називається заселеністю енергетичного рівня. Тут gif "name =" object5 "align = absmiddle width = 35 height = 27> - число часток з енергією в інтервалі від до, - число квантових станів в цьому інтервалі енергій.
У класичній статистиці більшість властивостей ідеального газу не залежить від властивостей складових його частинок. У квантовій механіці частинки діляться на два класи - ферміони (або більш повно - частинки підкоряються статистиці Фермі-Дірака) і бозони (частинки підкоряються статистиці Бозе-Ейнштейна), статистичні властивості яких принципово відрізняються. Спін фермионов в одиницях напівцілий:. Ферміони підкоряються принципу Паулі. Ферміоном є, наприклад електрон. Електрони негативно заряджені, тому вони можуть утворити ідеальний газ або при великому розрядження і високих температурах, або коли їх заряд скомпенсований розподіленим в просторі позитивним зарядом. Спін бозонів в одиницях нульовий або цілий:. Бозони не підкорився-ються принципом Паулі і в одному стані може знаходиться будь-яке їхнє число. Зокрема, бозоном є фотони, деякі ядра, атоми 4 2 He і деякі інші частинки. Фотони практично не взаємодіють один з одним і обра-товують ідеальний газ.
Крім кінцівки обсягу елементарної фазової осередку квантова статистика відрізняється від класичної також і внаслідок принципу невиразний-мости тотожних частинок, згідно з яким стану системи, відрізняючи-ються тільки перестановкою однакових часток фізично неможливо розрізнити. Тому навіть невзаимодействующие квантові частки не є-ються неза-мимі. Заселення зайнятого стану ферміоном внаслідок прин-ципу Паулі неможливо. На противагу цьому, заселеність стану бозона може бути довільною. Ця різниця призводить до якісних відмінностей в поведінці систем невзаімо-діючих фермионов і бозонів при середніх населених рівнів близьких до одиниці або перевищують її. Це і дозволяє говорити про двох різних типах ідеальних квантових газів: бозе-газі і фермі-газі.
^ Розподіл Бозе-Ейнштейна. Розподіл Планка. Для бозонів залежність середніх чисел заповнення станів з енергією Ei від абсолютної температури T має вигляд
де k - постійна Больцмана, - хімічний потенціал системи. Хімічним потенціалом системи називається енергія, необхідна для видалення частки з системи в ізобарно-ізотермічних умовах. Для бозонів і, таким чином, показник експоненти при будь-якої енергії неотрицателен. У межі він росте і складовою -1 в знаменнику формули (4.4) можна знехтувати. Розподіл Бозе-Ейнштейна переходить в розподіл Максвелла
Тут нормувальна константа, а, отже, і хімічний потенціал може бути знайдений з умови рівності суми чисел заповнення числу частинок газу N
З рівняння (4.5) випливає, що відношення населеностей визначається раз-ністю енергій рівнів
і при T = 0 населеним виявиться тільки рівень з мінімальною енергією. Це явище називається Бозе -конденсаціей. Слід мати на увазі, що речовина при цьому залишається ідеальним газом і до звичайної конденсації газу в рідину стрем-ня бозонів при зниженні температури зібратися в одному квантовому со-стоячи-ванні не має відношення. Бозе -конденсація проявляється в таких макро-ско-пическое фізичних явищах як надпровідність, надтекучість, індуці-рованное випромінювання світла. Ці явища становлять основу технічного прогресу в ряді напрямків техніки.
Для фотонів, наприклад, = 0. і розподіл (4.4) значно спрощується і набуває вигляду розподілу Планка.
Фонони. У лекції 5 книги [4] ми розглядали поширення хвиль в суцільної пружної середовищі відволікаючись від її внутрішньої структури. Для газів рідин і аморфних середовищ це наближення не призводить до спотворення якісної картини явища. Однак при дослідженні поширення хвиль в кристалах і їх теплоємності не враховувати періодичну структуру речовини вже не можна.
Як і в будь-якій системі, поширення хвилі в кристалах відбувається за рахунок пружного взаємодії його сусідніх елементів. У кристалах пружними силами пов'язані між собою атоми. Вони можуть здійснювати коливання двох видів. Особливо просто виглядають ці коливання при поширенні хвиль великої довжини.
В одному випадку сусідні атоми, розташовані на відрізку багато меншому довжини хвилі, коливаються в протилежній фазі. Центр тяжкості елементарної комірки кристала при таких коливаннях залишається нерухомим, що відповідає синфазной моді (див. Лекцію 2 в [4]). Якщо решітка складається з чергуються атомів двох типів, то відбувається коливання однієї підґратки щодо іншої. Ці коливання називають оптичними. Оптичні коливання не можуть бути описані в моделі суцільного середовища.
Інший вид коливання викликається односпрямованим зміщенням атомів в кристалічній решітці, при якому не змінюється відстань між сусідніми атомами (синфазна мода). У межі великих довжин хвиль ці колеба-ня призводять до осциляції решітки як цілого. При таких коливаннях кристал-вої решітка може бути апроксимована суцільний однорідний моделлю. З такими коливаннями пов'язані звукові хвилі.
Внутрішнє рух середовища може бути описано двома способами. По - перше, як зроблено вище можна визначити відносний рух складових частинок середу частинок. По - друге, можливий колективний спосіб, при якому рух внутрішнє рух середовища розглядається як результат накладення рухів, в кожному з яких беруть участь всі частинки. Зокрема, можливо і таке розкладання повного руху, при якому кожне колективний рух може бути порушено окремо. Так наприклад, якщо енергія внутрішнього руху кристала невелика, то воно завжди може бути розкладено на плоскі монохроматичні хвилі, що поширюються незалежно одна від одної. Відповідно до гіпотези де Бройля з монохроматичної хвилею пов'язана частка (квант), енергія якої пов'язана з частотою хвилі співвідношенням
Квант звукової хвилі називається - фонони. Властивості фононів близькі до властивостей фотонів. Так, енергія фононів пов'язана з їх частотою також як і у фотонів (рівняння 4.9). Фонони, як і фотони, підкоряються статистиці Бозе. Мовою фононів розігрів кристалічної решітки означає підвищення температури фононного газу. При малих амплітудах коливань в ідеальних кристалах оптичні і звукові коливання можна вважати незалежними. Також не взаємодіють між собою в цьому випадку і різні фонони, внаслідок чого фононний газ можна вважати ідеальним. Тоді його функція розподілу описується формулою, подібної формулою Планка для спектральної щільності фотонів, випромінюваних абсолютно чорним тілом (4.8). У реальних кристалах умови ідеальності фононного газу добре виконуються в звичайних умовах.
Фонони мають характерні властивості частинок, проте не є фундаментальними частинками, а виникають як збудження в конденсованому середовищі. Тому фонони називають квазічастинками.
^ Розподіл Фермі-Дірака. Якщо бозе-частинки при переходять всі в одне основне стан, то для ферміонів - частинок з напівцілим спіном знаходження двох частинок в одному квантовому стані заборонено принципом Паулі. Відповідно розподіл фермионов по енергіях має більш протяжний характер. Воно записується у вигляді
і називається розподілом Фермі-Дірака. Хімічний потенціал в розподілі (4.10) може бути як негативним, так і позитивним. При цьому, оскільки при будь-якому аргументі, в повній відповідності з принципом Паулі. При великих енергіях збудження воно також як і (4.4) переходить в класичний розподіл Максвелла.
При рівній абсолютному нулю температури значення функції стрибком змінюється в точці. Якщо те, а при числа заповнення дорівнюють нулю:. Тим самим розподіл набуває вигляду сходинки (суцільна лінія на рис. 4.1).
При перехід від заповнених станів до станів з нульовими числами заповнення відбувається в околиці шириною хімічного потенціалу, і сходинка розмивається (пунктир на рис. 4.1).
^ Електронний газ в металах. Електрони в металі ведуть себе близько до ідеального фермі-газу, оскільки їх взаємне відштовхування майже повністю компенсується полем позитивно заряджених іонів кристалічної решітки. При малих температурах їхні капітали з енергією виявляються заповненими електронами. Величина носить в цьому випадку назва енергії Фермі і позначається.
Тому кількість станів, енергія яких менше енергії Фермі, збігається з кількістю електронів. Ф Азов обсяг для однієї частинки идеаль-ного газу є твір геомет-Річе-ського обсягу V на обсяг в просторі імпульсів. Оскільки енергія не залежить від направле-ня імпульсу, еле-тарний фазовий об'єм, відповідаю-щий інтервалу енергій, виходить підсумовуванням еле-плементарним обсягів, знаходячи-трудящих на фіксований-ном відстані від точки. Результатом підсумовування є шаро-вої шар (рис. 4.2). З огляду на два можливих значення спінового числа, для кількості електронів в обсязі V отримаємо вираз. Для щільності електронів dN / V з урахуванням зв'язку між імпульсом і енергією матимемо
Загальна кількість електронів провідності в одиниці об'єму металу можна знайти, проинтегрировав вираз (4.7):
Якщо взяти типову концентрацію електронів в металі n = 6 × 10 28 м -3. то
= 9 · 10 -19 Дж = 5,4 еВ. (4.13)
В зазвичай не квантовому газі така енергія досягається молекулами при T
Питання для самоперевірки
Чим відрізняються ймовірності в статистичній фізиці від ймовірностей у квантовій механіці?
Чому в певному фазовому обсязі є кінцеве число квантових станів?
Побудуйте графік розподілу Бозе-Ейнштейна.
Як пов'язані між собою розподіл Бозе-Ейнштейна і формула Планка?
Чим відрізняється фотон від фонона?
Як виглядає розподіл Фермі-Дірака при?
Чому електрон провідності в металі можна розглядати як ідеальний фермі-газ?
Квантовомеханічна і статистична ймовірності.
Квантові ідеальні гази.
Розподіл Бозе-Ейнштейна.
Розподіл Фермі-Дірака.
Електронний газ в металах.
Лекція 6 нелінійні реактивні елементи нелінійні індуктивні елементи
Нелінійні індуктивні елементи являють собою котушки, намотані на сердечник з феромагнітного матеріалу
Лекція 3 нелінійні ланцюги нелінійні елементи ланцюга
Нелінійними електричними ланцюгами є ланцюга, параметри яких залежать від струму і напруги, т е містять нелінійні елементи.
8. орієнтований ПЕРЕЛІК вопросам підсумкового контролю
Предмет, об'єкт, метод и задачі статистики. Організація державної статистики в Україні
Тема основні Поняття, предмет та методи статистики
Це відносіться и до статистики - однією з основних дисциплін у системе економічної освіти и найважлівішою для тих, хто Вибравши статистику.