Основні визначення.
Определеніе.Матріцей розміру mхn, де m- число рядків, n- число стовпців, називається таблиця чисел, розташованих в певному порядку. Ці числа називаються елементами матриці. Місце кожного елемента однозначно визначається номером рядка і стовпця, на перетині яких він знаходиться. Елементи матриці позначаються aij. де i- номер рядка, а j- номер стовпчика.
Основні дії над матрицями.
Матриця може складатися як з одного рядка, так і з одного стовпчика. Взагалі кажучи, матриця може складатися навіть з одного елемента.
Визначення. Якщо число стовпців матриці дорівнює числу рядків (m = n), то матриця називається квадратної.
називається одиничною матрицею.
Приклад. - симетрична матриця
Визначення. Квадратна матриця виду називається діагональною матрицею.
Додавання і віднімання матриць зводиться до відповідних операцій над їх елементами. Найголовнішим властивістю цих операцій є те, що вони визначені тільки для матриць однакового розміру. Таким чином, можливо визначити операції додавання і віднімання матриць:
Определеніе.Суммой (різницею) матриць є матриця, елементами якої є відповідно сума (різниця) елементів вихідних матриць.
Операція множення (ділення) матриці будь-якого розміру на довільне число зводиться до множення (ділення) кожного елемента матриці на це число.
a (А + В) = a А ± aВ
А (a ± b) = a А ± BА
Приклад. Дано матриці А =; B =. знайти 2А + В.
2А =, 2А + В =.
Операція множення матриць.
Визначення: Твором матриць називається матриця, елементи якої можуть бути обчислені за наступними формулами:
A * B = C;
.
З наведеного визначення видно, що операція множення матриць визначена тільки для матриць, число стовпців першої з яких дорівнює числу рядків другої.
Властивості операції множення матриць.
1) Множення матриці не коммутативно. тобто АВ не дорівнює ВА навіть якщо визначені обидва твори. Однак, якщо для будь - яких матриць співвідношення АВ = ВА виконується, то такі матриці називаються перестановки.
Найхарактернішим прикладом може служити одинична матриця, яка є перестановною з будь-якою іншою матрицею того ж розміру.
Перестановки можуть бути тільки квадратні матриці одного і того ж порядку.
Очевидно, що для будь-яких матриць виконуються наступне властивість:
A * O = O; O * A = O,
де О - нульова матриця.
2) Операція множення матриць асоціативна, тобто якщо визначено твори АВ і (АВ) С, то визначені ВС і А (ВС), і виконується рівність:
(АВ) С = А (ВС).
3) Операція множення матриць дистрибутивну по відношенню до додавання, тобто якщо мають зміст виразу А (В + С) і (А + В) С, то відповідно:
4) Якщо твір АВ визначено, то для будь-якого числа a правильне співвідношення:
a (AB) = (aA) B = A (aB).
5) Якщо визначено твір АВ. то визначено твір В Т А Т і виконується рівність:
(АВ) Т = В Т А Т. де
індексом Т позначається транспонована матриця.
6) Зауважимо також, що для будь-яких квадратних матриць det (AB) = detA * detB.
Поняття det (визначник, детермінант) буде розглянуто нижче.
Визначення. Матрицю В називають транспонованою матрицею А, а перехід від А до В Транспонированием. якщо елементи кожного рядка матриці А записати в такому самому порядку в стовпці матриці В.
А =; В = А Т =;
Як слідства з попереднього властивості (5) можна записати, що:
(ABC) T = C T B T A T.
за умови, що визначено твір матриць АВС.
Приклад. Дано матриці А =, В =, С = і число a = 2. Знайти А Т В + AС.
A T =; A T B = * = =;
aC =; А Т В + AС = + =.
Приклад. Знайти твір матриць А = і В =.
АВ = * =.
ВА = * = 2 * 1 + 4 * 4 + 1 * 3 = 2 + 16 + 3 = 21.
Приклад. Знайти твір матриць А =, В =
АВ = * = =.
Повернутися в зміст: Вища математика