Розглянемо систему m лінійних алгебраїчних рівнянь щодо n невідомих
x1. x2. xn.
Рішенням системи називається сукупність n значень невідомих
при підстановці яких все рівняння системи звертаються в тотожності.
Система лінійних рівнянь може бути записана в матричному вигляді:
де A - матриця системи, b - права частина, x - шукане рішення, Ap - розширена матриця системи:
Система, що має хоча б одне рішення. називається спільної; система, яка не має жодного рішення - несумісною.
Однорідної системою лінійних рівнянь називається система, права частина якої дорівнює нулю:
Матричний вигляд однорідної системи: Ax = 0.
Однорідна система в с ь о г д а з о в м е з т н а. оскільки будь-яка однорідна лінійна система має принаймні одне рішення:
Якщо однорідна система має єдине рішення, то це єдине рішення - нульове, і система називається тривіально спільної. Якщо ж однорідна система має більше одного рішення, то серед них є і ненульові і в цьому випадку система називається нетривіально спільної.
Доведено, що при m = n для нетривіальною спільності системи необхідно і достатньо. щоб визначник матриці системи дорівнював нулю.
ПРИКЛАД 1. Нетривіальна спільність однорідної системи лінійних рівнянь з квадратною матрицею.
Застосувавши до матриці системи алгоритм гауссова виключення. наведемо матрицю системи до східчастого увазі
Число r ненульових рядків в ступеневою формою матриці називається рангом матриці, позначаємо
r = rg (A) або r = Rg (A).
Для того, щоб однорідна система була нетривіально сумісна, необхідно і достатньо, щоб ранг r матриці системи був менше числа невідомих n.
ПРИКЛАД 2. Нетривіальна спільність однорідної системи трьох лінійних рівнянь з чотирма неізестнимі.
Якщо однорідна система нетривіальний але сумісна, то вона має безліч рішень, причому лінійна комбінація будь-яких рішень системи теж є її рішенням.
Доведено, що серед нескінченної кількості рішень однорідної системи можна виділити рівно n-r лінійно незалежних рішень.
Сукупність n-r лінійно незалежних рішень однорідної системи називається фундаментальною системою рішень. Будь-яке рішення системи лінійно виражається через фундаментальну систему. Таким чином, якщо ранг r матриці A однорідної лінійної системи Ax = 0 менше числа невідомих n і вектори
e1. e2. en-r утворюють її фундаментальну систему рішень (Aei = 0, i = 1,2. n-r), то будь-яке рішення x системи Ax = 0 можна записати у вигляді
де c1. c2. cn-r - довільні постійні. Записане вираз називається загальним рішенням однорідної системи.
Дослідити однорідну систему - значить встановити, чи є вона нетривіально спільної, і якщо є, то знайти фундаментальну систему рішень і записати вираз для загального рішення системи.
Досліджуємо однорідну систему методом Гаусса.
матриця досліджуваної однорідної системи, ранг якої r Така матриця приводиться гауссова винятком до ступінчастому увазі Відповідна еквівалентна система має вигляд Перенісши вільні змінні в праву частину, отримаємо формули які визначають загальне рішення системи. Покладемо послідовно значення вільних змінних рівними і обчислимо відповідні значення базисних змінних. Отримані n-r рішень лінійно незалежні і, отже, утворюють фундаментальну систему рішень досліджуваної однорідної системи: ПРИКЛАД 3. Дослідження однорідної системи на спільність методом Гаусса.Схожі статті