1 Системи комп'ютерної алгебри
Maxima - спеціалізований математичний пакет, яким користуються професійні математики в усьому світі. Подібні пакети також називаються системами комп'ютерної алгебри, серед них найбільш відомі Maple, Matlab, Mathcad, Mathematica, Maxima, Derive, Axiom, MuPAD. Maxima - система роботи з символьними і чисельними виразами, що включає диференціювання, інтегрування, розкладання в ряд, перетворення Лапласа, звичайні диференціальні рівняння, системи лінійних рівнянь, многочлени, безлічі, списки, вектори, матриці та тензори. Maxima виробляє чисельні розрахунки високої точності, використовуючи точні дробу, цілі числа і числа з плаваючою точкою довільної точності. Система дозволяє будувати графіки функцій і статистичних даних в двох і трьох вимірах.
Maxima - безкоштовне програмне забезпечення, існують збірки під Windows, Linux, MacOS.
До ядра Maxima існують різні інтерфейси: простий консольний, графічні інтерфейс xMaxima і wxMaxima. Ми будемо працювати з останнім.
Для отримання довідки по тій чи іншій функції необхідно у вікні wxMaxima ввести. command (замінивши command на ім'я команди).
Maxima як суперкалькулятор
У робочій сесії (що зберігається в файлі з розширенням wxm) системи Maxima можна вводити команди в поле введення.
Після введення команди вона друкується в робочому аркуші, причому введена команда позначається, як (% i1). після чого друкується результат її виконання, позначений як (% o1). З кожною новою введеної командою її номер буде збільшуватися на 1:
Як ми бачимо, Maxima видає відповідь в точному вигляді у вигляді раціонального виразу. Якщо хочеться представити його у вигляді десяткового дробу (з деякою точністю) скористайтеся функцією float від деякого виразу:
Тут ми використовували вираз% o2 для посилання на результат раніше обчисленого виразу. Таким чином можна посилатися на результат будь-якого раніше обчисленого виразу.
Крім типу float існує тип big float, в якому можна працювати з дійсними числами довільної точності. Точність задається шляхом надання значення глобальної змінної fpprec. Для перетворення в тип big float використовується функція bfloat.
Буква b в запису числа використовується замість e для позначення типу big float.
Детальніше дивіться розділ "Floating Point" довідкової системи.
Числа і константи
Якщо у виразі зустрічається число, записане з плаваючою точкою (наприклад, 3.14 або 5.6e-17), то все обчислення виконуються наближено, в іншому випадку обчислення проводяться точно. В Maxima є наступні константи:
% Pi Число пі
% I Уявна одиниця i
% E Підстава натуральних логарифмів e
inf Позитивна нескінченність
minf Негативна нескінченність
true Логічна істина
false Логічна брехня
Обчислення за участю констант виконуються точно (якщо тільки їх значення НЕ буде переведено до дійсного значення), наприклад
Детальніше дивіться розділ "Constants" довідкової системи.
В Maxima існують такі оператори:
Арифметичні: +. -. *. /. ^ (Піднесення до степеня). (Факторіал).
Логічні: <.>.> =. <=. = (равно), # (не равно).
Детальніше дивіться розділ "Operators" довідкової системи.
змінні
Змінної є будь-який ідентифікатор (що складається з латинських букв і цифр, що починається з цифри). Змінної може бути присвоєно будь-яке значення за допомогою оператора присвоювання. Змінна, якої не присвоєно ніякого значення вважається вільною змінною і її ім'я зберігається в арифметичних обчисленнях. наприклад:
стандартні функції
Знак x - signum (x) (повертає 1, -1 або 0) або sign (x) (повертає текстовий рядок - дивіться документацію).
Тригонометричні функції: sin (x). cos (x). tan (x). cot (x)
Зворотні тригонометричні: asin (x). acos (x). atan (x). acot (x)
Натуральний логарифм: log (x). Для обчислення логарифмів з інших підстав користуйтеся властивостями логарифмів для відомості логарифма до натурального.
Перетворення математичних виразів
У вираз можуть входити константи, вільні змінні, математичні функції. Приклад вираження:
Досить часто в якості виразів виступають многочлени від однієї або декількох змінних або раціональні вирази. Maxima містить функції для перетворення таких виразів.
Функція factor (eq) розкладає вираз eq на множники.
Функція expand (eq) розкладає дужки у виразі eq.
Функція radcan (eq) призводить раціональні вирази до спільного знаменника і спрощує їх.
Для розкриття і спрощення тригонометричних виразів використовуються функції trigexpand (eq) і trigsimp (eq).
Також для спрощення тригонометричних виразів можна використовувати функцію trigreduce (eq). яка зменшує кількість.
Аналітичне рішення рівнянь і систем
Використовується функція solve.
Чисельне рішення рівнянь і систем
Використовується функція find_root для пошуку кореня розподілом навпіл і функція newton для методу Ньютона.
вправи
- Яка цифра в десяткового запису числа π стоїть на сотому місці після коми?
- Скільки цифр в десяткового запису 179.
- Розрахуйте значення (6 + 2 × 5 1/2) 1/2 - (6-2 × 5 1/2) 1/2.
- Обчисліть sin 4 (π / 8) + cos 4 (3π / 8) + sin 4 (5π / 8) + cos 4 (7π / 8).
- Спростіть вираз (1 + sin (2x) + cos (2x)) / (1 + sin (2x) - cos (2x)).
- Розкладіть на множники многочлен x 3 -4x 2 + 5x -2.
- Знайдіть чисельне рішення рівняння cos x = x.
- Розв'яжіть рівняння x 3 - x 2 - 11x + 15 = 0
- Вирішіть систему рівнянь: